Ursprungsgerade und tangenten?
Hallo,
wenn ich eine Ursprungsgersde bestimmen soll, die eine Tangente an dem Graphen einer natürlichen exponentialfunktion ist, wie mache ich das?
Vielen, vielen Dank im voraus
1 Antwort
"Einer" natürlichen Exponentialfunktion ?
Da ist bestimmt DIE (einzige, eindeutig bestimmte) natürliche Exponentialfunktion mit f(x) = e^x gemeint !
"Ursprungsgerade" ist eine Gerade durch den Ursprungspunkt O(0|0} des Koordinatensystems. Eine solche Gerade g hat eine Gleichung der Form y = m x , worin nur noch der Faktor m, die Steigung der Geraden, unbestimmt ist. Bestimme nun den Wert von m so, dass g auch eine Tangente der Kurve wird. Es müsste also einen Punkt P1(x1|y1) geben, welcher (1.) auf der Geraden g liegt und (2.) auf der Kurve liegt. Ferner soll (3.) die Kurve in diesem Punkt dieselbe Steigung m wie die Gerade haben.
Schaffst du es, die dazu gehörigen Gleichungen aufzustellen und dann eine (oder mehr als eine) Lösung zu finden ?
Stelle einfach mal die drei Gleichungen auf, die sich für die 3 Unbekannten x1, y1 und m ergeben !
(Anstatt x1 und y1 darf man hier auch einfach x und y schreiben; das erleichtert die Sache noch ein bisschen)
Ich habe eben nochmal versucht, auf eine Ergebnis zu können, jedoch wied mir das nicht klar. e^x kann man ja nicht verändern, was wiederum heißt, dass ich da nichts einsetzen darf. Irgendwie funktioniert das nicht...
Ich hatte geschrieben:
Es müsste also einen Punkt P1(x1|y1) geben, welcher (1.) auf der Geraden g liegt und (2.) auf der Kurve liegt. Ferner soll (3.) die Kurve in diesem Punkt dieselbe Steigung m wie die Gerade haben.
Die drei Gleichungen müssten also sein:
(1.) P1 liegt auf g , also : y1 = m * x1
(2.) P1 liegt auf Kurve , also : y1 = e ^ x1
(3.) Kurve hat in P1 die Steigung m , also: e ^ x1 = m
(für (3.) braucht man die Ableitung von e^x , welche gleich e^x ist)
Vielen Dank schonmal😁. Dass es nur eine natürliche exponentialfunktion gibt, weiß ich, ich habe jedoch die Aufgabe zitiert.
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie dies zu lösen ist. Ich benötige ja nun einen Punkt der auf f(x)=e^x, der so passend liegt, dass man ihn mit m treffen kann. Was ist jedoch von was abhängig? Muss ich nun erst m bestimmen oder erst den Punkt?