Trigonometrie mit e hilfe?
Ich hab diese Aufgabe die ich berechnen möchte. Allerdings komm ich nicht auf den gleichen Flächeninhalt bzw. Ich versteh nicht ganz wie man darauf kommt. Könnte mir jemand den rechenweg genau beschreiben. Danke im vorraus:)
2 Antworten
Hallo,
die Seitenhalbierende eines Dreiecks teilt dieses in zwei flächengleiche Teildreiecke auf, so daß Dreieck ABM genau halb so groß ist wie Dreieck ABC.
Um die Fläche von Dreieck ABC zu ermitteln, fällst Du die Höhe ha von A auf die Seite BC=a.
Es gilt: F (ABC)=ha*a/2.
Winkel alpha bekommst Du über den Winkelsummensatz eines ebenen Dreiecks heraus, da zwei der drei Winkel bekannt sind.
Nun kannst Du a mit Hilfe des Sinussatzes in Abhängigkeit von e*Wurzel (2) ausdrücken.
Die Höhe ha liegt (weil bei C ein stumpfer Winkel liegt), außerhalb des Dreiecks und trifft auf die Verlängerung der Seite a über C hinaus bei Punkt H.
Dreieck ACH ist ein rechtwinkliges Dreieck. Winkel HAC kannst Du auch über den Winkelsummensatz bestimmen (15°), denn Winkel ACH ist ein Nebenwinkel des stumpfen Winkels bei C und hat somit 75°.
Es gilt: cos (15°)=ha/(e*Wurzel (2)).
Du kannst nun auch ha in Abhängigkeit von e*Wurzel (2) (Seite b) ausdrücken und hast nun alles, was Du für die Flächenberechnung brauchst.
Nützlich zu wissen: sin (30°)=1/2. sin (45°)=1/Wurzel (2)=(1/2)*Wurzel (2)
cos (15°)=sin (75°)=[Wurzel (6)+Wurzel (2)]/4.
Herzliche Grüße,
Willy
Alternative: Heron'scher Flächensatz.
Fläche(Dreieck ABC) = √( s (s-a) (s-b) (s-c) )
wobei a, b, c die Seiten sind und s := (a+b+c)/2
a und c lassen sich aus dem Sinussatz berechnen und
alpha = 180° - beta - gamma
sowie sin(alpha) = sin(180° - (beta+gamma))
= sin(beta+gamma)
= sin(beta) cos(gamma) + cos(beta) sin(gamma)