Trigonometrie Gleichungen Lösen wie?
also...wir haben ein neues Thema im online Unterricht bekommen und zwar: Trigonometrie geichungen....und ich verstehe es glaube ich nicht so ganz.
Bestimme jeweils alle Lösungen der Gleichung im Intervall (0; 2pi)
(1) sin(x) = 0,4
(2) sin(x) = -0,2
(3) sin(x) = 1
(4) sin(x)= 0,866025404
Wie mache ich das jetzt? Meine Idee war:
(1) sin(x) = 0,4
dann sin hoch minus 1(0,4) = 0,411516
ABER JETZT KOMME ICH NICHT WEITER....muss ich jetzt einfach nur noch:
sin(x)=sin(pi - 0,411516)= 0,3995???
ANGEBLICH IST DAS LAUT LEHRERIN FALSCH....und ich verstehe nicht wie das anders gehen soll.
4 Antworten
Das ist sehr einfach. Dein Taschenrechner liefert dir immer nur den ersten Wert im Intervall von 0 bis 2\pi. Den zweiten Wert musst du immer selbst ausrechnen und es gilt:
Beim Sinus: Zweiter Wert = \pi - erster Wert.
Beim Kosinus: Zweiter Wert = 2 * \pi - erster Wert, fertig.
Nein, 0,399999 ist falsch. Das ist ja ein sin-Wert, du willst aber den Winkelwert \alpha im Bogenmaß. nNd das mit \pi -erster Wert musst du dir gut merken. Wenn du dir die Sinuskurve betrachtest, wirst du erkennen, warum.
für sin(pi - 0,411516) bekomme ich 0,399999224566195 heraus - also nahezu 0,4, wie zu erwarten. (Hattest du pi auf 2 oder 3 Nachkommastellen gerundet?)
sin(pi - 0,411516) = 0,4 ist auch der Nachweis dafür, dass
pi - 0,411516
ebenfalls eine Lösung der Aufgabe sin(x) = 0,4 ist. D. h. für die Lösung erwartet ist
pi - 0,411516 = 2,73007665358979
Glücklicherweise gibt es nicht noch mehr Lösungen im Intervall [0, 2 pi).
pi - 0,411516 = 2,73007665358979 .....das ist richtig...laut lehrerin....aber wie kommt man darauf? Also ist jetzt 2,73007665358979 und 0,411516 die beiden Lösungen oder auch 0,399999224566195?
2,73007665358979 und 0,411516 sind die beiden Lösungen (ich persönlich würde beide auf dieselbe Anzahl an Nachkommastellen runden, das hab ich bei meiner Rechnung vergessen)
0,399999224566195 ist KEINE Lösung, das ist nur das Rechenergebnis beim Proberechnen, wenn man eine der Lösungen in die Ausgangsgleichung einsetzt.
danke für deine Auführliche Hilfe und Untrstützung....Eine Frage hätte ich noch: bei sin(x) = -0,2 habe ich dann -0,198669 und 3,34 als Lösungen...stimmt das?
Da bekomme ich sin(x) = -0,197, das wäre mir zu weit von -0,2 entfernt.
(Und ich würde auf dieselbe Anzahl von Nachkommastellen runden, aber das ist in der Schule vermutlich nicht relevant.)
Vermutlich wird es als falsch gewertet.
Was sagt dein Taschenrechner zu arcsin(-0,2) bzw. arcsin(0,2)?
Ja, das habe ich auch heraus.
(Nach dem Wert ohne Minuszeichen habe ich gefragt, weil Vorzeichenumkehr bei manchen Taschenrechnern nicht ganz einfach ist.)
Jetzt müsstest du noch pi - (-0,201) berechnen und die Lösungen in das geforderte Intervall (0, 2 pi) verschieben (Addition oder Subtraktion von 2 pi).
Die erste Lösung erhalten wir ganz einfach mit Anwendung des Arkussinus:
Wenn man sich den Graph der Sinusfunktion andchaut, sieht man, dass es im Intervall [0, 2Pi] genau zwei Punkte gibt, mit sin(x)=0,4.
Den linken Punkt haben wir bereits berechnet (≈0.41), den rechten Punkt müssen wir noch berechnen - ist aber ganz einfach.
Wir müssen nämlich nichts weiter als zweimal das gelbe Stück zum ersten Punkt addieren, um den zweiten zu erhalten. Das gelbe Stück ist nichts weiter als die Differenz von Pi/2 und 0.41. Somit erhalten wir als zweite Lösung:
Die anderen Aufgaben dann auch so ;)
Allgemein kannst Du auch einfach dies hier nutzen:
Man muss aber, falls die erste Lösung negativ ist, solange Pi dazuaddieren, bis es positiv ist. Damit muss dann weitergerechnet werden.
_______________________
Nachtrag:
Aufgabe 2:
Zuerst wieder den Arkussinus anwenden:
Wir sehen, –0,201 ist nicht im gesuchten Intervall. Also nutzen wir die Formel für die "zweite Lösung" (siehe oben). Diese Formel berechnet immer das nächste, rechts gelegende Ergebnis. Das ist ja das, was wir wollen - schließlich wollen wir ins positive, nämlich in das Intervall von 0 bis 2Pi.
Für die zweite Lösung müssen können wir diese Formel allerdings nicht mehr anwenden. Jetzt müssen wir einfach 2Pi dazu addieren.
Hier allgemein:
Dann sind x_1 und x_2 alle Lösungen im Intervall [0,2π].
danke für deine Auführliche Hilfe und Untrstützung....Eine Frage hätte ich noch: bei sin(x) = -0,2 habe ich dann -0,198669 und 3,34 als Lösungen...stimmt das?
Nicht ganz. Die erste Lösung liegt ja nicht im gesichten Intervall. Dort musst Du noch mit Pi addieren, damit es im richtigen intervall ist. Mit dem Ergebnis musst Du dann die zweite Lösung bestimmen. Ich kann diese Aufgabe aber auch noch zur Antwort hinzufügen, wenn Du möchtest...
Hab die Antwort ergänzt. Unten steht es allgemein - brauchst also nur noch y einsetzen und hast alle Lösungen.
also kann ich eigentlich mir die Formeln immer merken und anwenden?und bin ich bei (3) sin(x) = 1 richtig mit: 1,5707?
und bei (4) sin(x)= 0,866025404 mit: 1,047107 und 2,09?
Jap, liegst bei beiden richtig.
Kannst Du Dir merken, wenn du möchtest. Schaden tut es nicht. Ich selbst habe es nie gebraucht, aber hatte auch keine Aufgaben wie Deine bis jetzt. Bei uns wurden die trigonometrischen Funktionen nur ziemlich kurz besprochen.
bei (4) sin(x)= 0,866025404 mit: 1,047107 und 2,09? WARTE ganz kurz noch: ich habe als 2. Ergebnis 7,33038 raus....stimmt das? Weil 0,866025404 ist kleiner als y also muss ich noch mit 2pi plus sinus hoch minus 1 rechnen oder?
oh shit.....stimmt y ist größer als O oh gott...hab es mit 1 verwechselt...sorry....ich verzweifle gerade echt an allen Aufgaben.
Ne.. warte. Ist kacke so. Ich kann dort keine Datein hochladen
Schau dir mal die Sinus-Kurve an.
In dem Intervall nimmt der Sinus
jeden Wert zweimal an, außer 1,
-1 und 0 (je einmal).
pi - 0,411516 = 2,73007665358979 .....das ist richtig...laut lehrerin....aber wie kommt man darauf? Also ist jetzt 2,73007665358979 und 0,411516 die beiden Lösungen oder auch 0,399999224566195?