Trick zur Erkennung vom Verhalten im Unendlichen
Hallo,
es gibt doch einen Trick, wie man bei einer quadratischen Funktion das Verhalten im Unendlichen bestimmen kann. Man muss auf die Zahl mit dem höchsten Exponenten gucken oder so. Kann mir jemand diesen Trick vielleicht nochmal etwas genauer erklären?
Danke!
3 Antworten
Na klar. Bei einer quadratischen Funktion ist das ja ganz einfach. Du hast ja eine Funktionsgleichung:
f(x) = ax² + bx + c. Wenn a < 0, dann geht f(x) in beide Richtungen gegen - unendlich. Wenn a > 0, geht f(x) in beide Richtungen gegen + unendlich.
Bei Polynomen ist das genauso: Sei n der höchste Exponent eines Polynoms g. Dann lässt sich g wie folgt darstellen:
g(x) = a * x^n + b * x^(n-1) + .... + c * x + d. Hier betrachten wir a und n.
Ist n gerade und a > 0, dann geht f(x) auf beiden Seiten gegen + unendlich.
Ist n gerade und a < 0, dann geht f(x) auf beiden Seiten gegen - unendlich.
Ist n ungerade und a > 0, dann geht f(x) "links" gegen - unendlich und "rechts" gegen + unendlich.
Ist n ungerade und a < 0, dann geht f(x) " links" gegen + unendlich und "rechts" gegen - unendlich.
Das ist ganz einfach du suchst dir immer den Summanden, der sich am dominantesten verhält:
Bsp.: f(x) = x^2 − 100x
Auf den ersten Blick könnte man meinen, dass bei x -> unendlich die funktionswerte immer kleiner werden und gegen - unendlich gehen. Dem ist aber nicht so, da das Quadrat viel schneller Wächst als der Faktor (- 100). Die Reihenfolge was am schnellsten wächst ist:
Konstante (zb. 4, wächst nämlich gar nicht xD) <
log (x) <
a * x (wobei a eine reelle Zahl ist) <
x^a (wobei a eine reelle Zahl ist)
gibt noch die sog. e-Funktion aber die lass ich jetzt mal weg, da die dich wahrscheinlich eh noch nicht interessiert ;)
Wenn du jetzt eine gebrochen rationale Funktion hast, sprich PolynomA / PolynomB, musst du noch mit obigen Mitteln prüfen welches Polynom am schnellsten wächst. Ist es das Zähler-Polynom, dann geht das ganze gegen +/- unendlich. Ist es Aber das Nenner-Polynom, strebt es gegen Null, da ja das was im Zähler steht durch immer mehr geteilt wird.
Wichtig bei f(x)=ax^2+bx+c lediglich das Vorzeichen von a. Ist a positiv, dann ist der Graph von f eine nach oben geöffnete Parabel und die Funktionswerte werden nach beiden Seiten Unendlich groß. Für a < 0 ist f nach unten geöffnet und die Funktionswerte streben gegen Minus Unendlich.