Themen bzw. Aufgabenvorschläge zur Eulerschen Zahl?
Guten Tag liebe GF.net-Gemeinde. Aufgrund eines freiwilligen Mathematik-Projektes, mache ich gerade eine Präsentation über die Eulersche Zahl. Aufgegliedert in folgende Unterthemen: 1. Die Herkunft von e 2. Die Definition & Herleitung 3. Beispiel zur Veranschaulichung 4. Zusammenhang der e-Zahl mit dem Grenzwert einer Folge lim (1+1/n)^n (n -> unendlich) 5. Zusammenhang mit dem natürlichen Logarithmus 6. Welche wichtige Rolle spielt e in der Mathematik & Technik 7. Begriff der transzendenten Zahl.
Das Projekt ist echt unfassbar spannend und interessant, jedoch bin ich ein "Sprach-Kind", Mathematik liegt mir nicht besonders. Daher hoffe ich, kann mir jemand unter die Arme greifen und mir bei den Fragestellungen bzw. Aufgabenstellungen helfen :)
Liebe Grüße
3 Antworten
Unter 2.) Definition und Herleitung kannst du vielleicht noch schreiben, dass die Eulersche Zahl sich auch mit einem Kettenbruch darstellen lässt.
Es gilt :
e - 1 = 1 + 2 / (2 + 3 / (3 + 4 / (4 + 5 / (5 + 6 / (6 + 7 / (7 + 8 / (8 + 9 / (9 + 10 / (10 + 11 / (11 + 12 / (12 + 13)))))))))))
Das reicht bereits für eine Genauigkeit von 9 Stellen nach dem Komma aus.
Will man es noch genauer haben, dann muss man einfach nur die Zahl der Ketten erhöhen, vorausgesetzt der Rechner erlaubt mehr als 9 Stellen.
Weil dieser Kettenbruch nicht e ausrechnet sondern e - 1
Will man also e ausrechnen muss man noch 1 addieren, also :
e = 2 + 2 / (2 + 3 / (3 + 4 / (4 + 5 / (5 + 6 / (6 + 7 / (7 + 8 / (8 + 9 / (9 + 10 / (10 + 11 / (11 + 12 / (12 + 13)))))))))))
Verstehe, der Kettenbruch rechnet also nicht 2,718 aus, sondern 1,718? also e - 1?
Ja, deshalb zum Ketttenbruch für e - 1 noch + 1 hinzu, damit es 2,718281828... werden.
Ergänzung :
Verwende statt dem Gleichheitszeichen (=) lieber dieses Zeichen ≈
zu 5) die Funktion ln(x) ist die Umkehrfunktion zu der Exponentialfunktion e^x .
siehe Mathe-Formelbuch Mac Laurin Reihe
e^(+/-*x)=1+/-x/1!+x²/2!+/-x³/3!+x⁴/4!+/-x^5/5! mit Betrag (x) < unendlich
Herleitung:
f(x)=e^x
Potenzfunktion f(x)=ao+a1*x¹+a2*x²+a3*x³+a4*x⁴+....
e^x=ao+a1*x¹+a2*x²+a3*x³
ao wenn x=0 also ao=1
abgeleitet (e^x)´=a1*x^0+2*a2*x¹... mit x=0 ergibt e^0=1=1 a1 also a1=1
(e^x)´´=a2*2*1*x+2*3*a3*x¹ mit x=0 ergibt (e^0)´´=1=1*2*a2 ergibt a2=1/(1*2)
Sonderfall e^1 also x=1
e^1=e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+.....=Summe=2,71828..
Die Funktion y=1/2*(e^(x)+e^(-x)) ist die Hyperbelfunktion y=f(x)=cosh(x)
y=1/2*(y1+y2)
y1=e^x=1+x/1!+x²/2!+x³/3!+...
y2=e^(-x)=1-x/1!+x²/2!-x³/3!+x⁴/4!-x⁵/5!+....
addiert y1+y2=(e^x+e^(-x))=2+0+2*x²/2!+0+2*x⁴/4!+... dividiert durch 2
1/2*(e^(x)+e^(-x))=cosh(x)=1+x²/2!+x⁴/4!+x⁶/6!+...
weitere Funktion
y=a^x logarithmiert
ln(y)=x*ln(a)
y=e^(x*ln(a))
e^x=1+x/1!+x²/2!+x³/3!+...
e^(x*ln(a))=1+(x*ln(a)/1!+(x*ln(a))²/2!+(x*ln(a))³/3!+....
Formel a^x=1+(x*ln(a)/1!+(x*ln(a))²/2!+(x*ln(a))³/3!+...
usw.
e^x=x⁰/0!+x¹/1!+x²/2!+x³/3!+x⁴/4!+.....
also e^x=Summe (x^n/n!)
hey precursor, danke für deine Antwort!! Eine Frage, wieso steht am Anfang e-1? Lg