eulersche Zahl?

1 Antwort

Hallo,

umschreiben zu e^(n*ln(1+1/n)), den Limes in den Exponenten ziehen, den Exponenten zu [ln(1+1/n)]/(1/n) umschreiben und de l'Hospital anwenden.

Zeigen, daß der Limes für n gegen unendlich im Exponenten gegen 1 geht, denn e^1=e.

Herzliche Grüße,

Willy


knowasikp 
Beitragsersteller
 19.12.2022, 19:09

Vielen Dank

Also den ersten Schritt habe ich verstanden, da die e Funktion und der ln sich wegheben....

Aber wie kommen sie darauf, den Exponenten so umzuschreiben, wie sie es geschrieben haben.....

knowasikp 
Beitragsersteller
 19.12.2022, 19:13
@Willy1729

Wie kommt man aber darauf , unter dem Bruchstrich 1/n zu schreiben bzw wie kommt man überhaupt auf eine Bruchschreibweise

Willy1729  19.12.2022, 19:14
@knowasikp

Damit man de L'Hospital anwenden kann. Man braucht einen Limes der Art 0/0 oder unendlich/unendlich, um die Methode anwenden zu können.

knowasikp 
Beitragsersteller
 19.12.2022, 19:18
@Willy1729

Dankeschön.

Ich habe ja davor n•ln(1+1/n)

Laut dem potenzgesetz kann ich nun das n wieder in den Ln reinziehen und erhalte: ln((1+1/n)^n) richtig?

Wie komme ich aber von dem Ausdruck auf 1/n im Zähler , das habe ich noch nicht ganz verstanden..

Willy1729  19.12.2022, 19:20
@knowasikp

Das wäre doch Blödsinn. Es geht doch gerade darum, das n herauszuholen und in der Form 1/n in den Nenner zu bringen.

Dann hast Du [ln(1+1/n)]/(1/n). Nun Zähler und Nenner getrennt ableiten, -1/n² kürzen und für das übriggebliebene 1/(1+1/n) n gegen unendlich gehen lassen.

Das ergibt dann als Grenzwert 1(1+0), also 1 und e^1=e.

knowasikp 
Beitragsersteller
 19.12.2022, 20:20
@Willy1729

Was für mich nicht viel Sinn ergibt ist :

e ist ja 2,71.......

Wenn man den Grenzwert von dem Ausdruck am anfang berechnen will , kann man doch nicht am Ende einfach e^1 rechnen . Man muss ja zuerst auf den Wert 2,71... kommen .Das ist für mich noch unverständlich..

Willy1729  20.12.2022, 09:16
@knowasikp

Auf e kommst Du über das Taylorpolynom von f(x)=e^x mit x=1 und x0=0.

1/1!+1/1!+1/2!+...+1/n! konvergiert schnell gegen e.