Kann mir jemand erklären warum alle zahlen deren Quersumme durch 3 teilbar ist durch 3 teibar sind?
Hi In der Grundschule hab ich mal gelernt, dass wenn die Quersumme einer zahl durch 3 teilbar ist die zahl auch durch 3 teilbar ist
Kann mir jemand einen verständlichen Beweis bringen warum das so ist?
5 Antworten
Die Antwort von Volens ist völlig richtig, sie hat nur den einen Nachteil, dass man sie nicht verstehen kann, wenn man nur Grundschulmathematik kann. Ich versuch mal, das etwas einfacher auszudrücken - dafür wird es ziemlich lang:
Bei einstelligen Zahlen (1 bis 9) ist sowieso alles klar.
Bei zweistelligen Zahlen haben wir eine Zehnerstelle (Z) und eine Einerstelle (E).
Als Beispiel bilden wir die Quersumme von 23 - das ist für jemanden, der die Ziffern lesen kann, einfach: 2 + 3 = 5.
Aber das sagt erst einmal nichts über Teilbarkeiten aus. Dazu müssen wir herausfinden, wie man durch Hinzufügen und Abziehen von der 23 zur 5 kommen:
Der Unterschied zwischen 23 und 5 ist 18 (23 - 5- = 18).
Und 18 = 2 · 9. 2 ist der Wert der Zehnerstelle und 9 ist 10 - 1. Ist das Zufall oder nicht?
Wenn wir das für verschiedene Zahlen ausprobieren, stellen wir fest: Das stimmt für alle zweistelligen Zahlen. (Man kann das auch mathematisch exakt zeigen, ohne alle Möglichkeiten durchzuprobieren - siehe die Antwort von Volens.)
Wenn wir die Quersumme einer zweistelligen Zahl bilden, ziehen wir also ein Vielfaches von 9 ab. Für eine zweistellige Zahl ZE ist die Quersumme Q:
Q = ZE - (Z · 9)
Und wenn eine Zahl durch 3 (oder 9) teilbar ist, ist auch die um 9 verminderte Zahl durch 3 (oder 9) teilbar - eben weil auch 9 durch 3 (oder 9) teilbar ist.
Bei dreistelligen Zahlen kommt noch eine Hunderterstelle (H) dazu.
Wir können ja 234 aufteilen in 234 = 200 + 34.
Die Quersumme von 234 ist also die Hunderterstelle plus die Quersumme der Zahl aus den letzten beiden Ziffern. Die Quersumme von 34 können wir wie oben bilden.
Jetzt müssen wir noch nachsehen, wie wir von 200 zur 2 kommen, und zwar durch Hinzuzählen und Abziehen.
200 - 2 = 198
Und 198 = 99 · 2
Wieder stellt sich heraus, dass das für alle dreistelligen Zahlen funktioniert.
Wenn wir eine dreistellige Zahl HZE haben, ist die Quersumme Q:
Q = HZE - (99 · H) - (9 · Z)
Auch hier gilt wieder: wenn wir ein Vielfaches von 9 abziehen, ändert sich nichts an der Teilbarkeit durch 3 (oder 9). Und weil 99 auch durch 9 teilbar ist, gilt die Quersummenregel also auch für dreistellige Zahlen.
Bei vierstelligen Zahlen kommt eine Tausenderstelle (T) hinzu.
Wir können 2345 aufteilen in 2345 = 2000 + 345
Weiter gehen wir entsprechend wie oben vor: 2000 - 2 = 1998
Und 1998 = 999 · 2
Für eine vierstellige Zahl THZE ist die Quersumme Q:
Q = THZE - (999 · T) - (99 · H) - (9 · Z)
Hierbei sind wieder 999, 99 und 9 allesamt durch 3 (oder 9) teilbar.
Damit gilt die Quersummenregel auch für vierstellige Zahlen.
Für Zahlen mit mehr Stellen kann man weiter so vorgehen wie oben. Deshalb gilt die Quersummenregel für alle Zahlen, egal, wie viele Stellen sie haben.
Man kann sich das am dezimalen Aufbau der Zahlen klar machen:
Eine dreistellige Zahl ist z.B. so aufgebaut: 100a + 10b + c
Das ist auch schreibbar als:
a * (99 + 1) + b * (9 + 1) + c = (99a + 9b) + (a + b + c)
Da die erste Klammer ersichtlich durch 3 teilbar ist (durch 9 übrigens auch), kann die gesamte Zahl nur auch durch 3 oder 9 teilbar sein, wenn
a + b + c
diese Eigenschaft hat. Und das ist genau die Quersumme.
Das ist für jede Zahl wiederholbar, formal mit Summenzeichen auch für alle. Das ist hier nur ein bisschen schwer darzustellen.
Beispiel 145
= 1•100 + 4 • 10 + 5
100, 10 und alle Stellenzahlen lassen bei Division durch 9 und durch 3 den Rest 1, also ist der Rest
R = 1 + 4 + 5
Die Quersumme lässt also bei Division durch 9 bzw 3 den gleichen Rest wie die Zahl selbst.
Sorry, die Seite stürzte gerade ab.
Der Trick ist das Modulo-Rechnen.
Man streicht aus der Zahl erst alle Ziffern (3, 9, 6), die durch 3 teilbar sind. Für die muß man ja nicht beweisen, daß sie Vielfache von 3 sind. Dann bildet man Summen aus den Restziffern (8 + 4 = 12) und prüft, ob diese Vielfache von 3 sind. Bleibt keine Ziffer übrig, ist die Zahl durch 3 teilbar.
Das ist einfach:
782 = 7·(99+1)+8·(9+1)+2 = (7·99+8·9) +(7+8+2)
Die erste Klammer ist eine Dreier-(Neuner-)Zahl. Damit ist die ganze Zahl eine Dreier-(Neuner-)Zahl, wenn 7+8+2 eine solche ist.