Sollte der Betrag von x^3 an der Stelle 0 differenzierbar sein?
3 Antworten
Überlege doch einfach mal mit dem Differentialqutienten.
Eine Funktion ist differenzierbar wenn der Grenzwert lim h->0 [(f(x + h) - f(x))/h] existiert.
Die Funktion f(x) = x³ ist eine Abbildung R->R damit können die Ergebnisse von f(x) auch negativ werden.
f(x) = x³ ist eine ungerade Funktion denn es gilt f(-x) = -f(x). Damit ist die Funktion symmetrisch um den Nullpunkt.
Den Betrag stellt man über eine Fallunterscheidung dar:
|x| = -x für x < 0
|x| = x für x >= 0
Das setzen wir jetzt in den Differentialquotienten ein:
lim h->0 [ (|(0+h)³| - |0³|)/h] = lim h->0 [|h³|/h]
Jetzt betrachten wir mal was dieser Grenzwert macht wenn wir uns von der negativen Seite annähern und machen die Fallunterscheidung:
lim h->0- [|h³|/h] = lim h->0- [(-h³/h] = 0
Jetzt nehmen wir den Grenzwert von der positiven Seite betrachtet:
lim->h->+0 [(h³/h)] = 0
Da der linksseitige und der Rechtsseite Grenzwert ident sind existiert der Grenzwert und hat den Wert 0.
Damit ist gezeigt, dass |x³| an der Stelle x = 0 differentierbar ist.
Aus diesen Überlegungen sieht man ebenfalls, dass diese Eigenschaft allgemein für die Funktion f(x) = |x^n| wobei n größer 1 ist gilt. Am Ende haben diese Funktionen am Punkt x = 0 immer die Ableitung f'(0) = 0
Ja, ist er.
Aufgesplittet ist ja der Betrag von x^3
-x^3 für x<0 und x^3 für x>=0.
Die beiden Ableitungen sind
-3x^2 und 3x^2
Und für x=0 sind eben beide 0. Also sind links- und rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle x=0 identisch.
Da auch die Funktionswerte beide 0 sind dort, ist die Funktion differenzierbar in x=0.
Falls n gerade ist, entspricht die Betragsfunktion ja eh einfach der normalen Funktion. Und die ungeraden werden dadurch eben dann auch zu solchen Parabeln.
Bilde die beidseitigen Ableitung und schaue, ob sie übereinstimmen.
- Fall x>=0 => |x^3| = x^3 => Ableitung 3x^2 an der Stelle x=0 ist 0
- Fall x<0 => |x^3| = -x^3 => Ableitung -3x^2 an der Stelle x=0 ist 0.
Ableitungen von rechts und links sind identisch, also ist die Funktion |x^3| an der Stelle x=0 differenzierbar.
Das gilt sogar allgemein für f(x)=|x|^n, falls n>1.
Nur bei f(x)=|x| bekommt man an der Stelle x=0 unterschiedliche Ableitungen, nämlich 1 und -1. In allen anderen Ableitungen taucht x als Faktor auf und setzt bei x=0 die ganze Ableitung unabhängig vom Vorzeichen auf Null.