Skalarprodukt 0 = Rechtwinkligkeit?
Wenn das Dreieck ABC rechtwinklig ist, muss einer das Skalarprodukt von einem der Verbindungsvektoren = 0 sein.
Kann mir jemand erklären, warum das so ist? Also der mathematische Hintergrund!
3 Antworten
Das liegt an der Definition des Skalarproduktes im euklidischen Vektorraum als
<a, b> = |a||b|*cos(alpha), wobei alpha der Winkel zwischen a und b ist.
Man sieht sofort dass wenn alpha = 90° der Cosinus 0 ist und damit das Skalarprodukt ebenfalls.
Umgekehrt nennt man in allgemeinen Prähilberträumen (also Vektorräumen die mit einem Skalarprodukt ausgestattet sind) zwei Vektoren zueinander senkrecht oder orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. D.h. im Allgemeinen ist diese Eigenschaft eine Folge der Definition.
Hallo,
das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist die Fläche, die entsteht, wenn man ein Rechteck aus der Länge von Vektor a und der Länge der Projektion von Vektor b auf Vektor a bildet.
Sind beide Vektoren rechtwinklig zueinander, ist die Projektion von Vektor b auf Vektor a=0 und 0 mal die Länge von Vektor a ist natürlich auch 0.
Rechnerisch gilt für das Skalarprodukt: a·b=cos (phi)*(|a|*|b|).
Phi ist dabei der Winkel zwischen den beiden Vektoren.
Ist phi=90°, ist cos (phi)=cos (90°)=0.
Herzliche Grüße,
Willy
.../|a||b| ? Bist du dir sicher? Das würde für immer längere Vektoren ja bedeuten dass das Skalarprodukt immer kleiner wird?
Die geometrische Defintion des Skalarprodukts enthält auch den Kosinus (multipliziert).
cos 90° = 0
Danke!
Eine Frage noch: Muss für das Überprüfen der Rechtwinkligkeit, wenn das Skalarprodukt = 0 ist, dennoch a·b=cos (phi)*(|a|*|b|) angewandt werden oder reicht Skalarprodukt = 0 als Überprüfung?