Sin(h)/h=1?
Wie kann man beweisen, dass sin(h)/h=1 wenn h gegen 0 geht, ohne dass man numerisch herangeht (d. h. dass man für h immer kleinere Werte einsetzt). Eine passende Internetquelle wäre gut. Danke im Voraus.
7 Antworten
siehe Mathe-Formelbuch Kapitel "Geometrie" Winkel in Bogenmaß
b=r * phi Winkel in Bogenmaß
für kleine Winkel (a)<7° ist sin(phi)= r * phi mit r=1 (Einheitskreis)
oder mach l´Hospital siehe Mathe-Formelbuch
lim f(x)/g(x)= lim f´(x)/g´(x) mit x gegen xo hier xo=0
gilt nur für unbestimmte Ausdrücke der Form 0/0 oder unendlich/unendlich
Wenn der neue Grenzwert wieder ein unbestimmter Ausdruck ist,dann ist das Verfahren zu wiederholen
Würdest du 0 einsetzen, würde der Ausdruck 0/0 entstehen. Das geht natürlich nicht.
Dafür gibt es die Regel von l'Hopital, die besagt, dass du in einem solchen Fall Zähler und Nenner einfach ableiten kannst, wobei sich der Grenzwert nicht ändert.
sin(h)' = cos(h) und h' = 1
Also: lim_x→0 sin(h)/h = lim_x→0 cos(h)/1 = cos(0) = 1
Somit geht sin(h)/h für h→0 gegen 1.
Hallo,
mach's über die Regel von l'Hospital:
Bei f(h)=sin(0+h)/(0+h) gehen für h gegen Null sowohl Zähler als auch Nenner gegen Null.
So kannst Du auch den Grenzwert der Ableitungen von Zähler und Nenner bestimmen:
f'(h)=cos(0+h)/1
Geht h gegen Null, geht der Kosinus von 0+h gegen 1, damit erhältst Du als Grenzwert für f'(h); h gegen 0: 1/1=1.
Gemäß der Regel von l'Hospital ist dieser Grenzwert mit dem Grenzwert von f(h) für h gegen Null identisch.
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn f(h) = sin(h)/h, ist f'(h) aber nicht cos(h)/1.
Bei der Regel von l'Hopital leitet man Zähler und Nenner separat ab - würde man den gesamten Bruch ableiten, müsste man die Quotientenregel anwenden.
Im Text habe ich das auch gesagt, aber in der Formel falsch dargestellt. Ich habe allerdings Zähler und Nenner getrennt abgeleitet und danach auch den Grenzwert berechnet.
Wie gesagt, ich habe richtig gerechnet, aber es schlampig hingeschrieben. Da habe ich doch glatt einen Vorsatz fürs neue Jahr, der sich von dem üblichen Diätenquatsch abhebt.
Einfachster Weg wäre über eine Taylorentwicklung bei x = 0:
sin((x - 0) = x + R(x,0) ; R(x, 0) : Restglied der Taylorreihe
---> sin(h) = h + R(h,0)
Damit folgt dann für h > 0:
sin(h)/h = (h + R(h,0))/h = 1 + R(h,0)/h ---> 1 für h --> 0
Zum Restglied R(x, 0):
Das Restglied nimmt dabei hier die Form:
R(x,0) = cos(z)/2! *(x - 0)^2 mit z aus ]x, 0[ ; an.
--> R(x,0) = O(x^2)
und damit gilt, es existiert eine Konstante c aus IR, so dass:
|R(x,0)| <= c*x² für x hinreichend nahe bei 0
daraus wiederum folgt dann aber: R(h,0)/h = c*h --> 0 für h -> 0
Alternativ kann man auch den Mittelwertsatz benutzen:
sin(h)/h = (sin(h) - sin(0))/h = cos(z) mit z aus ]h, 0[
mit h -> 0 folgt damit z ---> 0 ,da Sinus und Cosinus glatte Funktionen auf ganz IR, folgt:
cos(z) --> 1 für z --> 0
Alternativ ebenso über die Eulersche Formel:
sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i)
mit sin(h)/h = (sin(h + 0) - sin(0))/h ---> sin´(0) für h->0
Mit bekannter Ableitung der Exponentialfunktion folgt:
sin´(0) = (e^(i*0) + e^(-i*0))/2 = 2/2 = 1
Eine Regel von l'Hopital besagt, dass der Grenzwert eines Bruches, bei dem Zähler und Nenner gegen 0 konvergieren, dem Grenzwert des Bruches entspricht, wenn man die Ableitung des Zählers und des Nenners bildet.
lin(x->0) sin(x)/x = lim(x->0) sin'(x)/x' = lim(x->0) cos(x)/1 = 1
Danke, aber das Problem ist, dass ich gerne die Ableitung von sin(x) beweisen würde, wofür ich den Ausdruck sin(h)/h umformen muss. Für die Regel von l'Hospital muss ich die Ableitung schon kennen, also wäre das ein Zirkelschluss.