Sehr schwere Gleichung lösen? schafft ihr es?
Ich habe hier eine Gleichung. Die Lösung ist 0 und 0 macht auch Sinn wenn man sie für x einsetzt. Aber keiner meiner Freunde schafft es wie man darauf kommt. Kann das jemand erklären?
7 Antworten
Multiplizier beide Seiten der Gleichung mit (x-1)•(x-2)
Dann kürzen sich die Nenner weg:
x•(x-1)•(x-2)/3 + (x-1)•(x-2) = 4•(x-2) - 10•(x-1)
Und jetzt ausmultiplizieren und nach x auflösen...
(x / 3) + 1 = (4 / (x - 1)) - (10 / (x - 2)) | * 3
x + 3 = (12 / (x - 1)) - (30 / (x - 2)) | * (x - 1)
x * (x - 1) + 3 * (x - 1) = (12 - (30 * (x - 1) / (x - 2))
x ^ 2 - x + 3 * x - 3 = (12 - ((30 * x - 30) / (x - 2))
x ^ 2 + 2 * x - 3 = (12 - ((30 * x - 30) / (x - 2)) | * (x - 2)
(x ^ 2 + 2 * x - 3) * (x - 2) = 12 * (x - 2) - (30 * x - 30)
x ^ 3 + 2 * x ^ 2 - 3 * x - 2 * x ^ 2 - 4 * x + 6 = 12 * x - 24 - 30 * x + 30
x ^ 3 - 7 * x + 6 = - 18 * x + 6 | + 18 * x und - 6
x ^ 3 + 11 * x = 0
x * (x ^ 2 + 11) = 0
Wegen dem Satz vom Nullprodukt ist die erste Nullstelle x_1 = 0
Die anderen Nullstellen erhältst du über den Term, der nach dem Ausklammern von x in der Klammer verblieben ist :
x ^ 2 + 11 = 0
x_2,3 = ∓ √(- 11)
x_2 = - √(11) * i
x_3 = + √(11) * i
i ist die imaginäre Einheit
Hallo,
Das Ziel bei Bruchgleichungen ist erstmal, alle Summanden auf denselben Nenner zu bringen. Dafür ersetzen wir erstmal 1 durch 1/1 und erweitern dann anschließend alle Brüche mit allen Nennern.
x/3 + 1/1 = 4/(x-1) - 10/(x-2)
Jetzt erweitern wir jeden Bruch mit den restlichen Nennern, sodass am Ende alle Brüche denselben Nenner haben.
Ich mache das mal für x/3 vor. Zuerst erweitern wir mit 1 (dem Nenner vom nächsten Summanden), da passiert gar nichts. Dann erweitern wir mit (x-1), d.h. x(x-1)/3(x-1). Und anschließend noch mit (x-2):
(x*(x-1)*(x-2))/(3*(x-1)*(x-2))
Das machen wir jetzt mit allen Summanden, dann erhalten wir:
(x*(x-1)*(x-2))/(3*(x-1)*(x-2)) + (3*(x-1)*(x-2))/(3*(x-1)*(x-2))
=
(4*3*(x-2))/(3*(x-1)*(x-2)) - (10*3*(x-1))/(3*(x-1)(x-2))
Das sieht jetzt hier alles ein bisschen unübersichtlich aus, am besten schreibst du das alles mal aus. Ich habe hier lediglich die Beüche erweitert, die Reihenfolge ist noch dieselbe.
Jetzt können wir beide Seiten der Gleichungen mit dem nun gemeinsamen Nenner (3*(x-1)*(x-2)) multiplizieren. Dann haben wir schon mal die ganzen Brüche weg :)
(x*(x-1)*(x-2)) + (3*(x-1)*(x-2)) = (4*3*(x-2)) - (10*3*(x-1))
Im Prinzip habe ich jetzt nur die Zähler von oben genommen, weil wir ja mit dem gemeinsamen Nenner multipliziert haben. Das ist jetzt eine ganz normale Gleichung. Die können wir lösen, indem wir die Klammern ausmultiplizieren und dann alles auf eine Seite bringen:
(x*(x^2 - 3x +2)) + (3x^2 - 9x + 6) = (12x - 24) - (30x - 30)
x^3 - 3x^2 + 2x + 3x^2 - 9x + 6 = 12x - 24 - 30x + 30
x^3 - 7x + 6 = -18x + 6
x^3 + 11x = 0
Hier siehst du schon ganz richtig, dass eine Lösung x=0 ist:
x(x^2+11)=0
Die Lösungen der quadratischenGleichung hier in der Klammer wären auch nich Lösungen der Bruhgleichung.
Aber x^2 + 11 = 0 hat keine (reelle) Lösung
Damit ist die einzige (reelle) Lösung x=0
zuerst alles auf eine Seite bringen
0=x/3+1-4/(x-1)+10/(x-2) Hauptnenner HN=3*1*(x-1)*(x-2)
nun mit HN/HN=1 erweitern
0=x*(x-1)*(x-2)+3*(x-1)*(x-2)-4*3*(x-2)+10*3*(x-1))*1/HN
(x-1)*(x-2)=x²-x-2*x+2=x²-3*x+2
0=(x³-3*x²+2*x+3*x²-9*x+6-12*x+24+30*x-30)*1/HN
0=(x³-x)*1/HN
ein Bruch wird zu NULL,wenn der Zähler NULL wird
0=x³-x=x*(x²-1)
Satz vom Nullprodukt c=a*b hier c=0 wenn a=0 oder b=0 oder a=b=0
Nullstelle bei x1=0
0=x²-1 ergibt x2,3=+/- Wurzel(1)=+/- 1 also x2=1 und x3=-1
Dieses Ergebnis muss überprüft werden,weil Ergebnisse mit Wurzeln manchmal nicht zutreffen.
Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.
D = R\{1 ; 2}
x/3 + 1 = 4/(x - 1) - 10/(x - 2)
(x + 3)/3 = [4 * (x - 2) - 10 * (x - 1)]/[(x - 1) * (x - 2)]
(x + 3)/3 = (-6x + 2)/[(x - 1) * (x - 2)]
(x + 3) * (x - 1) * (x - 2) = -18x + 6
x³ + 11x = 0
x * (x² + 11) = 0
x = 0