Schweres lineares Gls?
Das Doppelte der ersten Ziffer ist gleich einem Drittel der zweiten Ziffer.
Die zweistellige Zahl mit 2 multipliziert hat eine Quersumme von 14.
Kann mir jemand helfen?
2 Antworten
Zahl: xy
Das Doppelte der ersten Ziffer ist gleich einem Drittel der zweiten Ziffer.
2x = 1/3 * y
6x = y
Die zweistellige Zahl mit 2 multipliziert hat eine Quersumme von 14.
Beim Verdoppeln der Zahl xy haben wir eine neue Zahl uv mit u = 2x und v = 2y, falls y<5 oder u = 2x+1 und v = 2y-10, falls y >= 5.
Fall 1
1/3 * y + 2y = 14
2 1/3 y = 14
y = 6, x = 1
Fall 2
1/3 y + 1 + 2y-10 = 14
2 1/3 y = 23
y = 69/7 = 9,9, x = 9,9/6 = 1,64
Fall 2 entspricht nicht der Vorgabe, dass die Ziffern Ganzzahlen sein müssen.
Fall 2 erfüllt die Bedinung. Die Zahl ist 16.
Muss ein Fehler in der Aufgabenstellung sein, hab darüber auch die letzten 20 Minuten gegrübelt :-D
Wieso eigentlich nicht?
Die zweistellige Zahl aus der Zehnerstelle x und der Einerstelle y sähe so aus:
10x + y
Das sollen wir nun verdoppeln:
20x + 2y
Um daraus die Quersumme zu bilden, müssten wir sie wieder separiert addieren:
20x / 10^1 + 2y / 10^0
= 20x/10 + 2y/1
= 2x + 2y
Oder habe ich einen Denkfehler? Oo :D
Der Denkfehler ist am konkreten Beispiel am einfachsten zu zeigen.
Die Zahl 16 ist doppelt 32. Davon die Quersumme ist 5.
2x + 2y ist 2 + 12 = 14.
Okey, davon ist die Quersumme wiederum 5 😉
Der Denkfehler ist am konkreten Beispiel am einfachsten zu zeigen.
Das war mir durchaus vorher klar, ich meinte einen Denkfehler in der mathematischen Herleitung! 😉
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Ansonsten sind wir uns alle einig darüber, dass die Aufgabenstellung so nicht korrekt sein kann. Denn die einzig mögliche Option für den ersten Absatz ist
6x = y
und damit verbleibt für x nur 1, sonst wäre y keine Ziffer und die daraus gebildete Zahl nicht zweistellig.
Die Zahl 1Y ist und die Quersumme der doppelten Zahl soll 14 sein.
Was gäbe es für Kombinationen für diese Quersumme? (5, 9), (6, 8), (7, 7), (8, 6), (9, 5). In keiner dieser Kombinationen steht vorne eine 2 oder 3, was bei Verdopplung von 1Y heraus käme.
Das ist nicht meine Frage. Dass der Text so nicht funktionieren kann, ist klar. Meine Frage war, wo der Denkfehler bei der mathematischen Herleitung ist. 😉
Zumal ohnehin nur 68 und 86 in Frage kämen, da die Halbierung der anderen Kandidaten keine zweistellige Ganzzahl zur Folge hätte.
Also müsste die Ziffernfolge daraus 34 oder 43 sein. Und das lässt sich mit dem ersten Absatz nicht vereinbaren.
Der Denkfehler liegt vermutlich darin, dass man die Ziffern nicht unabhängig voneinander multiplizieren kann und es sich nicht um eine lineare Abbildung handelt, also dass nicht gilt
2 * Q((x,y)) = Q(2 * (x,y)) = Q((2x,2y)) = 2x + 2y
Man müsste mit dem Modulo arbeiten und den Übertrag berücksichtigen, also mit dem ganzzahligen Rest der Division (der in dem Fall nur 0 oder 1 sein kann).
Deine beiden Gleichungen lauten:
und
Nachtrag: Offenbar ist dein Problem nicht ohne Weiteres lösbar. Es gibt leider keine verdoppelte Zahl aus zwei Ziffern, für die die erste Bedingung erfüllbar wäre. Aus Überlegungen muss die verdoppelte Zahl gerade sein und darf nicht größer als 194 sein.
Weitere Zahlen wären 176 und 158 im dreistelligen und 86 und 68 im zweistelligen Bereich. Keine dieser Zahlen wird aus zwei Ziffern gebildet, wobei die erste Ziffer 6-mal so groß ist wie die zweite Ziffer, denn:
Dies ist im Rahmen dieser Aufgabe nicht erfüllbar für die möglichen Paarungen 97 (194), 88 (176), 79 (158), 43 (86) und 34 (68).
Das würde auf x = 1 und y=6 führen was dann aber eben auf 16 führen würde. Die Quersumme vom doppelten also 32 ist aber nicht 14.
Es sollte eine Zahl wie 68, 86 oder 158 nach der Verdopplung herauskommen.
Das Problem liegt in einem Übertrag der ersten Stelle bei der Quersumme. Also wenn ich zB Zahlen wie 14 mit 2 Multipliziere dann hab ich 28 und die Quersumme ist 10, was eben gleich dem doppelten der Ziffernsumme der Ursprungszahl ist.
Wenn ich hingegen 15 nehme dann ist das doppelte 30 und dessen Quersumme 3 entspricht nicht mehr der doppelten Quersumme von 15.
Ich würde also eine Zahl vermuten deren Einerstelle 5 oder größer ist.
Tatsächlich scheint die Aufgabe an sich fehlerhaft gestellt zu sein.
Es klingt so, als sei diese Aufgabe für Klasse 8 konzipiert worden, ohne dass man sie selbst einmal durchgerechnet hat.
Denn tatsächlich habe ich keine gerade Zahl der Quersumme 14 gefunden, für die die erste Bedingung erfüllbar wäre.
Das würde auf x = 1 und y=6 führen was dann aber eben auf 16 führen würde. Die Quersumme vom doppelten also 32 ist aber nicht 14.
Ich vermute dass man die beiden Ziffern separat verdoppeln soll und daraus dann die Summe gebildet wird.
1*2 = 2
6*2 = 12
2 + 12 = 14
Anders interpretiert hat diese Textaufgabe keine Lösung, denn aus dem ersten Absatz geht klar hervor, dass die zweite Ziffer dem 6fachen der ersten Ziffer entsprechen muss.
Damit bleibt nur die 16.
Das kann durchaus sein, allerindgs gibt es auch so ein Problem mit dem Gleichungssystem weil der oben genannte Fall hier nicht abgedeckt wird. Also auch wenn es eine Antwort gäbe wäre das Gleichungssystem falsch.
Dementsprechend dann besser die folgende Aufgabenstellung:
Das doppelte von Zahl 1 ist ein Drittel von Zahl 2, das doppelte der Summe von Zahl 1 und Zahl 2 ergibt 14. Die Idee mit der Quersumme war natürlich ganz schön gedacht, macht aber hier mehr Probleme, als sie löst.
Wobei sein Gleichungssystem als solches stimmt, denn wenn du unten einfach nur die Ziffern einsetzt, dann kommt damit dann tatsächlich 14 raus.
2(x+y) = 14
2(1+6) = 14
2 + 12 = 14
Die Aufgabe ist einfach falsch formuliert.
Ja das Gleichungssystem stimmt für die Aufgabe, allerdings ist Phleppse denke ich, wie ich auch, davon ausgegangen, dass die Aufgabe anders lautet und dafür wäre dann das Gleichungssystem falsch.
Ich frage mich aber ob man für so einen Fall überhaupt ein LGS angeben kann.
Wenn die erste Zahl 16 sein muss?
Was sein könnte wäre, dass y zur ersten Ziffer wird und x zur zweiten.
Dann hätten wir 61 -> * 2 = 122. Das könnte man mit etwas gutem Willen als Quersumme 14 durchgehen lassen.
Vergiss mal den ersten Teil.
Wir sind von der Aufgabenstellung ausgegangen, dass mit
Die zweistellige Zahl mit 2 multipliziert hat eine Quersumme von 14.
gemeint ist, dass eine Zahl z existiert für die gilt, dass die Quersumme von 2z 14 ist.
Der Term 2(x+y) = 14 beschreibt aber dieses Problem eben nicht. Sprich wenn die Aufgabenstellung so gemeint wär wie ursprünglich angenommen unter der Prämisse, dass es einen ersten Teil der Aufgabe gibt welcher dazu passt, dann wäre dieses Gleichungssystem falsch.
Die Quersumme von 2z ist nämlich nicht gleich 2(x+y) für alle möglich x und y.
Da hast du recht. Denn z wäre eigentlich 10x + y, wenn wir denn aus den zwei Ziffern eine zweistellige Zahl bilden wollten.
Aber je mehr ich darüber nachdenke, desto korrekter erscheint es mir hingegen wieder. Denn die Quersumme einer Zahl bildet sich aus den einzelnen Ziffern.
Die zweistellige Zahl wäre:
10x + y
Verdoppelt:
20x + 2y
Die einzelnen Ziffern daraus zu bilden, würde daraus hinauslaufen, dass wir die Ziffern wieder einstellig machen:
2y / 10^0 + 20x / 10^1
= 2y + 2x
Ja so habe ich auch gerechnet, aber du brauchst eigentlich nur die Zahl 16 betrachten und wir sagen x = 1 und y = 6 dann würde 2x + 2y = 14 ergeben, die Quersumme von 16*2=32 ist hingegen 5.
Die Form 2(x+y) gilt nur wenn in der Quersummenberechnung kein übertrag stattfindet, für 14 würde die Quersumme nach 2(x+y) = 10 ergeben und 2*14=28 hat auch die Quersumme 10, hier stimmts noch. Mit 15 würde es hingegen nicht mehr stimmen.
die Quersumme von 16*2=32 ist hingegen 5.
Da hast du natürlich vollkommen recht, aber wie will man das als Gleichung ausdrücken, wenn du keine der Ziffern kennst.
Denn eigentlich müsstest du aus jeder Ziffer wieder die einstellige Quersumme ziehen. Das klappt eben nur, wenn das Ergebnis nach wie vor einstellig ist.
Jetzt verstehe ich worauf die hinauswolltest. Keine Ahnung, ob man das mathematisch in einen korrekten Kontext bringen kann.
Es heißt in der Fragestellung: Quersumme VON 14.
Das ist 5, genau wie bei 32.
Klingt nicht wirklich überzeugend, aber Quersumme 14 wäre Quersumme 14
Quersumme VON 14 aber 5
Wenns so gemeint ist, ist aber die Formulierung sehr schlecht gewählt.
"hat die selbe Quersumme wie 14" wäre hier eindeutig.
"Eine Quersumme von 14" würde hingegen eher drauf hinauslaufen, dass die Quersumme 14 ist, weil 14 nur eine Quersumme hat und nicht mehrere, aber es mehrere Zahlen gibt deren Quersumme 14 ist.
Da müsste dann in dem Fall eigentlich "die Quersumme von 14" stehen und selbst dann ist die Formulierung schlecht.
Ja, das stimmt alles. Vielleicht schlecht übersetzt. Altes Rätsel...
Aber immerhin eine Möglichkeit. Wäre allerdings auch ungewöhnlich, einfach wahllos irgendeine Zahl zu nennen.
Ich selbst hatte mal ein tolles Mathebuch, hinten waren ältere Rätsel a la Adam Riese und andere. Die waren auch so merkwürdig.
Hmm, irgendwie haut das mit der Quersumme nicht hin...
Die Quersumme von 2*16 ist ja nicht 2*1 + 2*6.