Quersumme 8
Eine Zahl ist fünfstellig und hat die Quersumme 8.Die Ziffer an der Einer- Stelle ist grösser als 0.Die Ziffer an der Zehner-Stelle ist das Doppelte der Ziffer an der Einer-Stelle und zudem die Hälfte der Ziffer an der Hunderter-Stelle.
3 Antworten
Begründung.
Zu finden ist x ∈ N. Diese Zahl soll bzgl. Basis-10 fünfstellig sein. Also hat x die Darstellung d[4]d[3]d[2]d[1]d[0], wobei d[4] ≠ 0 und d[n] ∈ {0; 1; …; 9} für jedes n. Hinzu müssen folgende Beschränkungen berücksichtigt:
- d[0] ≠ 0; d[1] = 2 d[0] und d[1] = (1/2) d[2] und ∑ d[n] = 8
Aus diesen Gleichungen ergibt sich d[0] = d[2] / 4. Da d[n] ≤ 9 gilt d[0] ≤ 9/4 < 3. Also d[0] ∈ {0; 1; 2}. Da d[0] ≠ 0 gilt d[0] ∈ {1; 2}.
Nun, da d[0] + d[1] + d[2] + d[3] + d[4] = ∑ d[n] = 8 gilt 8 ≥ d[0] + d[1] + d[2] = (1+2+4)d[0] = 7·d[0]. Daher d[0] ≤ 8/7 < 2. Also darf d[0] ≠ 2 sein. Notwendigerweise ist dann d[0] = 1. Daher d[0] = 1; d[1] = 2d[0] = 2; d[2] = 4d[0] = 4.
Nun d[4] = 8 – (d[0] + d[1] + d[2] + d[3]) ≤ 8 – (d[0] + d[1] + d[2]) = 8–7 = 1. Daher d[4] ∈ {0; 1}. Da d[4] ≠ 0, ist d[4] zwangsläufig 1. Es bleibt, d[3] festzustellen: d[3] = 8 – (d[0] + d[1] + d[2] + d[4]) = 8 – 8 = 0.
Also x = 10421 in Basis-10.
Hab ich nicht mal deinen Eintrag gemerkt, sonst hätte ich nichts gepostet. Der Zweck war eigentlich die Antworten der beiden anderen zu begründen, denn es fehlt ein Argument bei denen. Hätte ich deinen gesehen, würde ich nichts geschrieben haben, denn ich finde deine Antwort viel knapper und daher besser für so ne leichte Aufgabe! ; )
Dafür ist Deine Antwort beeindruckender.
(Und natürlich mathematisch korrekter).
㋛
Zahl abcde
a+b+c+d+e=8
e>0
d=2*e
d=0.5*c bzw. c=2d
also
da e>0, muss e mind. 1 sein.
dann folgen die kombinationen
cde=421 oder 842
wir überlegen uns:
es muss ja a+b+c+d+e=8 sein.
die 2. kombi kann nicht passen da
8+4+2 alleine shcon weit größer als 8 ist.
demnach muss cde=421 sein.
damit folgt aber auch dass
a+b+4+2+1=8 ist. also
a+b=1.
das heißt dass a=1 und b=0 sein muss oder umgekehrt.
umgekehrt mahct keinen sinn, denn wäre a=0, dann wäre abce keine 5stellige zahl mehr.
demnahc muss ab=10 sein.
Also insgesamt lautet die Zahl dann:
10421 :-)
Um die Herleitung nochmal zu beschreiben:
Die Einerstellt ist mindestens 1.
Die Zehnerstelle ist das Doppelte, also mindestens 2.
Die Zehnerstelle ist die Hälfte der Hunderterstelle, also ist die Hunderterstelle das Doppelte, also mindestens 4.
Also sind die letzten drei Ziffern mindestens 421, und das hat schon die Quersumme 7.
Dadurch bleibt nur noch die Ziffern 1 übrig, und da die Zahl fünfstellig sein soll, kann sie nur:
#10421
lauten.
Das hast Du aber jetzt von mir abgeschrieben!
㋛