Schnittgerade zweier Ebenen
Bei zwei Ebenen die zB lauten 3x1 +2x2 -4x3 = 5 ... Weiß ich wie man die Schnittgerade bestimmt aber bei Ebenen wo eine Koordinate "fehlt" also ich meine E: x2 - x3 = -2 hab ich keinen wirklichen Ansatz weil mir dann eine Zeile fehlt. Weiß jemand was ich meine und wie man das Problem löst? Danke im voraus.
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Die Gleichung
E: x2 -x3 = -2
ist zu
0x1 -1x2 -1x3 = -2
zu ergänzen, wie KDWalther schon schreibt.
Kopfrechnung ergibt, dass die Normalenvektoren der Ebenen nicht kollinear sind. Es gibt also eine Schnittgerade g der Ebenen.
Um einen Punkt von g zu bekommen, setzt du in der x1 enthaltendene Gerade x1 = 0 und löst das verbleibende System zweier Gleichungen mit zwei Variablen x2, x3. Da g existiert, hat dieses System eine eindeutige Lösung x20, x30. Der Punkt (0 | x20 | x30) liegt auf g.
Der Richtungsvektor von g ist bequem als Kreuzprodukt ( = vektorielles Vektorprodukt) der Normalenvektoren beider Ebenen zu bekommen.
Wenn bei beiden Ebenen die x1-Koordinate fehlt und die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, ist der Vektor (1 0 0 ) zum jeweiligen Normalenvektor beider Ebenen orthogonal und also Richungsvektor der Schnittgerade.
Vorstellung: Für beide Ebenen gilt, dass ausgehend von einem beliebigen Punkt P der betrachteten Ebene alle Punkte ebenfalls zur Ebene gehören, die den gleichen x2- und x3-Wert wie P haben, sich aber im x1-Wert beliebig von P unterscheiden (denn "0 mal x1-Wert" fällt in der Ebenengleichung weg). Alle diese Punkte liegen auf einer Parallele zur x1-Achse durch P. Also kannst du dir beide Ebenen aus Parallelen zur x1-Achse zusammengesetzt vorstellen. Genau eine dieser Parallelen ist die Schnittgerade und hat deswegen den angegebenen Richtungsvektor.
Ein Punkt bekommst du wie im oben beschriebenen Beispiel (nur brauchst nur x1 nicht 0 zu setzen, das Produkt von x1 mit seinem Koeffizienten ist sowieso = 0).
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Vielen Dank für die ausführliche Antwort, Sie haben mir sehr geholfen.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/KDWalther/1444744561_nmmslarge.jpg?v=1444744561000)
Wenn Du zwei "komplette" Ebenengleichungen hast, wirst Du doch wahrscheinlich mit dem Additionsverfahren bei einer der Gleichungen einer Variable eliminieren.
Das ist hier sozusagen schon fertig. Hier hast Du 0·x1 + x2 - x3 = -2 sowie Deine zweite Gleichung.
Du kannst also gleich an der Stelle einsetzen, an der Du sonst nach dem Additionsverfahren anlangst. Arbeit gespart, Problem vereinfacht.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Mein Problem ist wenn bei beiden Ebenen zB die x1 Koordinate fehlt. Das hätte ich vielleicht genauer formulieren sollen.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Ellejolka/1444744459_nmmslarge.jpg?v=1444744459000)
https://www.youtube.com/watch?v=m7cuNHPOEdA
und E2 = 0x1 +x2 - x3 = -2