Bedeutung der Konstante bei Ebenengleichung in Koordinatenform?
Hallo, man kann eine Ebene ja in Parameterform als
(X-N)*A=0
(mit X=Punkt halt, N normalenvektor und A Aufpunkt) schreiben
sowie in Koordinatenform
bla*x1+bla*x2+bla*x3=konstante
was ich mich die ganze Zeit frage ist:
Wenn ich bspw. die Ebenen
5*x1+2*x2+7*x3=2 und
5*x1+2*x2+7*x3=11
habe,
die sich also nur in der Zahl auf der rechten Seite unterscheiden, was bedeutet das für die Ebenen?
wofür steht die 2 und die 11 bzw. was bedeutet die differenz von 9?
Nahc etwas Überlegen bin ich soweit gekommen:
ausgehend von der normalenform oben gilt ja
(x-n)*a=0
x*a-n*a=0
x*a=n*a
halt links und rechts skalarprodukt zwischen vektoren, x ist der vektoren mit den koordinaten des punktes, der auf der ebene liegen soll. a aufpunkt und n normalenvektor sind ja fest mehr oder minder.
wenn ich das jetzt so mit der koordinazengleichung vergleiche, ist ja klat dass die linke seite mit dem x1-x3 nur daher kommen kann dass man eben das skalarprodukt x*a ausschreibt.
weil halt nur da drin x1-x3 vorkommt.
zwangsläufig muss also auch n*a der konstanten auf der rechten seite entsprechen.
jetzt zur ausgangsfrage:
wenn ich nun also die beiden ebenen
5*x1+2*x2+7*x3=2 und
5*x1+2*x2+7*x3=11
habe,
dann ist die linke seite gleich, folglich also nomalenvektor und koordinaten gleich (sagen wir jetzt mal)
(konkret n=(5,2,7) in dem fall)
heißt letztlich der ausdruck nx ist gleich in beiden fällen (linke seiten) aber der ausdruck n*a unterscheidet sich (rechte seiten) dann folgt rein logishc ja dass a gleich ist, zwangsläufig kann die änderung in der konstante nur durch einen anderen aufpunkt zustande kommen.
heißt aber auch:
2 ebenen mit gleichem normalenvektor und unterschiedlichem aufpunkt:
entweder gleich (wollen wir mal ignorieren die möglichkeit) oder parallel!
heißt wiederum es gibt einen überall gleichen abstand zwischen den 2 ebenen.
frage ist nun nur nach wie vor, was bedeuten die konstanten der ebenen 2 und 11 konkret?
gucken wir auf die "definition", dann gilt also
n*a1=2 und
n*a2=11
mit dem (gemeinsamen) normalenvektor n und den 2 verschiedenen aufpunkten a1 und a2.
selbst wenn ich über die definition des skalarprodukts gehe (bzw. dessen betrages):
n*a2=|n|*|a2|*cos(winkel zwischen n und a2)
bringt es mir wenig.
ich weiß immer noch nicht was genau die 2 und die 11 angeben oder wie die irgendwie mit dem abstand zwischen den 2 offnsichtlich parallelen ebene n zusammenhängen.
das geheimnis hinter der konstanten bleibt ungelüftet, ausser dass es das ergebnis eines skalarprodukts ist :-/
hat wer weitere ideen dazu wa die konstate auf der rechten seite und der abstand der ebenen gemeinsam hat?
1 Antwort
das geheimnis hinter der konstanten bleibt ungelüftet,
... bis Du die Hessesche Normalform bildest: Teile dazu die ganze Gleichung durch ||n||. Dann ist die Konstante auf der rechten Seite der Abstand der Ebene zum Ursprung.
Für Dein Beispiel:
5*x1+2*x2+7*x3=11
||n||=√(25+4+49)=√78≈8,83
0,566x₁+0,226x₂+0,793x₃=1,25