Schnittgerade?
Geben Sie die Gleichungen zweier Ebenen an, deren Schnittgerade die Gerade g ist.
g: (1,0,1) + t * (0,1,0)
Wie gehe ich hier vor?
2 Antworten
Suche dir zwei vom Richtungsvektor (0, 1, 0) unabhängige weitere Richtungsvektoren [beispielsweise einfach (1, 0, 0) und (0, 0, 1)] und erweitere die Geradengleichung damit dann zu zwei Ebenengleichungen in Parameterform.
Also beispielsweise...
Was ist aber wenn man beispielsweise die Gerade g: t * (0,0,1) hat, was muss man dann verändern?
Vielen Dank! Aber wie bist du auf den dritten Richtungsvektor gekommen? kann man irgendeinen nehmen?
Ich habe einfach die Vektoren (1, 0, 0) und (0, 0, 1) hinzugenommen, da dann die drei Vektoren (1, 0, 0) und (0, 1, 0) und (0, 1, 0) zusammen offensichtlich die Standardbasis ℝ³ bilden. Damit weiß ich dann sofort, ohne weitere Prüfung, dass die 3 Vektoren linear unabhängig voneinander sind.
Anschaulich kann man auch feststellen, dass E1 dann parallel zur x1,x2-Ebene ist und E2 parallel zur x2,x3-Ebene ist, welche orthogonal (senkrecht) zueinander verlaufen, und sich daher sicher in einer Geraden schneiden.
============
Im Grunde kannst du aber auch (fast) beliebig andere Vektoren wählen. Du musst nur darauf achten, dass diese dann linear unabhängig voneinander sind.
Entsprechendes Falsch-Beispiel...
Wenn du beispielsweise (1, 0, 0) und (2, 3, 0) als weitere Richtungsvektoren Vektoren genommen hättest, also die beiden durch
x = (1, 0 , 1) + t (0, 1, 0) + s (1, 0, 0)
x = (1, 0 , 1) + t (0, 1, 0) + s (2, 3, 0)
gegebenen Ebenen betrachten würdest, so wären das keine zwei verschiedenen Ebenen. Es wären zwei Gleichungen, die die gleiche Ebene beschreiben, da
(2, 3, 0) = 2 (0, 1, 0) + 3 (1, 0, 0)
ist, also die drei Vektoren (0, 1, 0) und (1, 0, 0) und (2, 3, 0) nicht linear unabhängig wären. Der Schnitt der beiden Ebenen wäre demnach wieder die Ebene, nicht nur die Gerade g.
------------
Wenn du sicher sein möchtest, dass du unabhängige Vektoren erhältst, kannst du auch zunächst einen der Nicht-Null-Einträge unverändert lassen und einen der anderen beiden anderen Einträge abändern. Beispielsweise kannst du bei (0, 1, 0) den zweiten Eintrag (= 1) unverändert lassen und den ersten oder den zweiten Eintrag abändern. Beispielsweise könntest du den ersten Eintrag zu 2 ändern und so (2, 1, 0) erhalten.
Dann hast du zunächst 2 voneinander unabhängige Vektoren. Um nun einen dritten linear unabhängigen Vektor zu erhalten, könntest du das Kreuzprodukt (https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt) der beiden anderen Vektoren verwenden. Damit würde man in diesem Beispiel dann
(0, 1, 0) × (2, 1, 0) = (1 * 0 - 0 * 1, 0 * 2 - 0 * 0, 0 * 1 - 1 * 2) = (0, 0, -2)
erhalten. Dementsprechend könnte man dann beispielsweise die beiden durch
x = (1, 0 , 1) + t (0, 1, 0) + s (2, 1, 0)
x = (1, 0 , 1) + t (0, 1, 0) + s (0, 0, -2)
gegebenen Ebenen angeben.
Was ist aber wenn man beispielsweise die Gerade g: t * (0,0,1) hat, was muss man dann verändern?
Dann suchst du dir zwei weitere Vektoren zu (0, 0, 1), so dass die Vektoren linear unabhängig sind.
Beispielsweise kannst du dann (1, 0, 0) und (0, 1, 0) als weitere Vektoren verwenden und die durch
E1: x = t * (0, 0, 1) + s * (1, 0, 0)
E2: x = t * (0, 0, 1) + s * (0, 1, 0)
angeben.
Anschaulich wäre bei diesem Beispiel dann E1 die x1,x3-Ebene und E2 die x2,x3-Ebene. Die beiden Ebenen schneiden sich dann in der Geraden g, welche der x3-Achse entspricht.
Nimm den Stützvektor in beide Ebenengleichungen, den Richtungsvektor der Gerade auf und nimm zwei verschiedene zweite Richtungsvektoren.
Vielen Dank! Aber wie bist du auf den dritten Richtungsvektor gekommen? kann man irgendeinen nehmen?