Schneiden von Asymptoten?
Ich finde es hier ein wenig schwer nachzuvollziehen wie man ansetzen soll um so eine Aufgabe zu lösen. Fehlt mir Hintergrundwissen? Keine Ahnung.
Wenn jemand erklären könnte wie man das beweist und woher Carina überhaupt weiß wie dieser Graph aussieht (kann man im Vorraus schon an etwas erkennen ob eine waagerechte Asymptote einen Schnittpunkt hat? ich weiß das es eine Aufgabe im Buch ist aber das ist irgendwie weniger offensichtlich für mich als für die liebe Carina)
3 Antworten
was man wissen kann ist , das bei gleichem Zähler- und Nennergrad eine waagrechte Asymptote vorliegt , die man hier leicht mit x²/x² = 1 = y bestimmen kann.
Die Asymptote verläuft also durch ( 0 / 1 ) parallel zu x-achse ! Da war ich erst mal erstaunt, denn die Asy geht ja von + bis - unendlich, nicht nur nach + unendlich hin.
Frage ist also : hat die Fkt für f(x) = 1 ( y = 1 ) einen Schnittpunkt. Das kann man nicht erkennen , sondern man muss es berechnen . Der Schnittpunkt liegt bei ( 1 / 1 ) .
Es heißt doch : SCHAU dir die Fkt an . Ohne Schauen auf den Graph schafft es auch Carina nicht. Ohne Schauen konnte sie diese Aussagen nicht treffen.
Auch die erste Aussage ist wahr, denn wenn die Fkt die senkrechte Asy schneiden würde , gäbe es für diese Polstelle einen Wert , aber der ist ja gerade , weil es eine Polstelle ist , die nicht zum Definitionsbereich gehört, ausgeschlossen !
so schaut sie aus : Pol bei +2 und waag Asy bei y = 1
Multiplizierst Du den Nenner aus, siehst Du, dass die waagerechte Asymptote y=1 lautet. Jetzt könntest Du einfach f(x)=1 ausrechnen und so direkt sehen, wo die Funktion die Asymptote schneidet, oder Du überlegst: links und rechts in Richtung der senkrechten Asymptote bei x=2 läuft der Funktionsgraph gegen plus-Unendlich. Und da f(0)=0 ist, und die Funktion ansonsten stetig, muss irgendwo zwischen x=0 und x=2 der Funktionswert y=1 erreicht werden...
Sind Zähler- und Nennergrad gleich, dann ergibt deren Koeffizient die waagerechte Asymptote.
"Mathematisch" klammerst Du in Zähler und Nenner die höchsten Exponenten aus (also hier x²) und kürzt diese. Läßt Du jetzt den Rest gegen unendlich laufen, fallen die hinteren Brüche mit x (bzw. x²) im Nenner weg (bzw. laufen gegen Null) und es bleiben die Koeffizienten der höchsten Grade übrig.
Hier ist der Graph der gegebenen Funktion. Die Asymptote y=1 wird vom linken Ast gescnitten, vom rechten Ast aber nicht.
Ok ... Wie genau gehe ich nochmal beim Berechnen von Grenzwert vor? Ich hab dann x^2/(x^2-4x+4) und von dort aus ? Wie komme ich dann auf die 1?