Ableitungsfunktion mit waagerechter Asymptote?
Gegeben ist der Graph von f' (im Schaubild)
- Was können wir über die Asymptoten der Originalfunktion sagen/verraten?
Meine Lösung :
- zwei Pollstellen bei x=-1 und x= 1
- waagerechte Asymptote bei y=0
Mein Lehrer hat aber gesagt, dass die Gleichung der waagerechten Asymptote y=c sein soll (allgemeiner)?
Wieso können wir nicht einfach y=0 sagen?
Die Pollstellen bleiben aber gleich. Wieso ist das?
2 Antworten
Hier muss man aufpassen!
Das ist der Graph der Ableitungsfunktion f'
Der besagt, dass für x gegen unendlich die Ableitung gegen Null geht. D.h. dass für die Originalfunktion die Asymptote eine Gerade mit Steigung 0, also eine Parallele zur X-Achse ist. Daher kann man nur y=c behaupten. Welchen Wert c annimmt, weiß man nur, wenn man die Originalfunktion kennt.
Die Polstellen (nur ein L bei Pol, wie Nordpol!) bleiben gleich, dort ist die Steigung rechts und links vom Pol minus unendlich, also steil fallend. Das geht nur, wenn das ein Pol mit Vorzeichenwechsel ist.
Die senkrechten Asymptoten haben mit der waagrechten nichts zu tun.
Die Gleichung der waagrechten Asymptote ist die der x-Achse: y = 0
c ist hier = 0
Jede Parallele zur x-Achse kann Asymptote werden, allerdings dann bei passender Funktion:
wenn du den Graphen um 1 nach oben schiebst, ist die Asymptote: y = 1