Satz des Thales, wie komme ich auf des Winkel Alpha?
Hallo zusammen, ich weiß, dass Alpha 65 Grad ist (90 Grad abzüglich 25 Grad). Die Lösung steht im Buch. Jedoch erschließt sich mir das nicht, warum das so ist. Kann es jemand erklären?
Ganz lieben Dank.
4 Antworten
Hallo,
der Satz vom Sehnentangentenwinkel:
Jeder Sehnentangentenwinkel über demselben Kreisbogen ist genausogroß wie alle zugehörigen Umfangswinkel.
Betrachte den Winkel DMA. Nach dem Peripheriewinkelsatz ist dieser doppelt so groß wie der Winkel DBA. Nenn diesen Winkel µ, dann ist Winkel DMA gleich 2µ
Da das Dreieck ADM gleichschenklig ist, sind die Basiswinkel ADM und DAM gleich groß und es gilt:
Winkel ADM=Winkel DAM und Winkel ADM+Winkel DAM=180°-2µ.
Wegen der Gleichheit beider Winkel gilt daher: Winkel ADM=90°-µ.
Die Tangente an den Kreis bei D ist rechtwinklig zum Radius DM, sonst wäre sie keine Tangente. Ziehst Du von diesem rechten Winkel, also von 90°, den Winkel alpha ab, kommst Du ebenfalls auf den Winkel ADM=90°-µ.
Somit ist 90°-alpha gleich 90°-µ und damit ist alpha gleich µ.
Herzliche Grüße,
Willy
Der Winkel BAD ist ein rechter.
Damit wird MAD = 25°.
Das Dreieck AMD ist gleichschenklig, also ist der Winkel ADM auch 25°.
Der Winkel von MD zur Tangente ist auch ein rechter.
Damit wird Alpha 65°.
Hinweis: Die Dreiecke sind lauter gleichschenklige Dreiecke (Seite mit dem Radius ist identisch) und damit sind viele Winkel gleich:
Anmerkung: α = 90° - 25° stimmt nur dann, wenn in der Aufgabe steht, dass die Gerade bei D eine Tangente an den Kreis ist, denn nur dann ist α + 25° ein rechter Winkel ("Tangente steht senkrecht auf dem Radius")
Du hast das Rechteck ABCD. Im Punkt A hast Du unterhalb der Diagonale 65°. Somit hast Du oberhalb der Diagonale 90°-65° = 25°. AMD ist eun gleichschenkliges Dreieck, d. h. auf der gegenüberliegenden Seite im Punkt D hast Du unterhalb der Diagonale auch 25°. Damit ist alpha =90°-25° = 65°.