Russisch Roulette Wahrscheinlichkeit einmal treffen?
Hallo,
Ich habe mal wieder eine Mathematische Frage zur Wahrscheinlichkeit
Angenommen jemand spielt russisch Roulette mit einer Patrone und sechs Kammern
nun wäre die Chance zu treffen ⅙ also 16,666..%
was wenn die Person jetzt aber vier mal schießt und nur ein mal treffen muss, wie hoch wäre da die Wahrscheinlichkeit.Ach ja und die trommel wird jedesmal neu gedreht
Mein erster Gedanke war nun zu Multiplizieren also ⅙⅙⅙⅙ das wäre dann 1/1296 also 0.0128600823% das wäre dann aber nur die Wahrscheinlichkeit jedesmal zu treffen.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen und bitte erklären wie die Wahrscheinlichkeit ist einmal oder mehr bei 4 Schüssen getroffen zu werden
2 Antworten
1/6 ist nicht 1,66... % sondern 16,6... % =P
Wahrscheinlichkeiten multiplizieren ist die richtige Variante. Du musst dir aber folgendes überlegen:
Es ist wichtig, ob du nach jedem Schuss noch einmal den... Lauf (?, wie heißt das bei der Pistole, wo man die Kugeln reintut?) drehst. Denn nur dann ist die Wahrscheinlichkeit bei jedem Schuss 1/6 dass du schießt, und 5/6, dass du nicht schießt.
Schießt du einfach durchgehend weiter, so verändern sich die Wahrscheinlichkeiten. Beim 1. Schuss ist es noch 1/6, beim zweiten dann aber 1/5 (da ja ein Schuss schon abgefeuert wurde) und so weiter.
Betrachten wir den 1. Fall. Dann schreiben wir nun p = 1/6. Das ist also die Wahrscheinlichkeit, dass man schießt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass du mit dem ersten Schuss triffst, aber mit den nächsten 3 nicht:
p*(1-p)*(1-p)*(1-p) = p*(1-p)³
Das ist jetzt aber nur eine Möglichkeit, du könntest ja auch erst beim letzten Schuss treffen. Dafür ergibt sich dann:
(1-p)³*p
Das ist die gleiche Wahrscheinlichkeit wie eben auch schon. Wir müssen nun also alle Möglichkeiten durchgehen, an welcher Position ein Schuss fallen kann, wenn man 4 Schüsse macht. Dies kann man einfach mit dem Binomialkoeffizienten ausrechnen. Dazu müssen wir "4 über 1" rechnen. Das ist:
4 über 1 = 4!/(3!*1!) = 24/6 = 4
Es gibt also 4 Möglichkeiten dafür (ist auch nicht verwunderlich, eben an jeder Position der 4 Positionen einmal). Nun können wir somit ausrechnen:
4*p*(1-p)³ = 125/324 = 38,6 %
Das ist jetzt aber nur die Wahrscheinlichkeit, dass du mit einem Schuss auch einen Schuss abfeuerst und mit den anderen drei nicht. Wenn wir also berechnen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass mindestens 1 Schuss trifft, müssen wir folgende Summe berechnen (tut mir echt leid, ich weiß nicht, wie ich in gutefrage die Formelzeichen einbetten kann, daher gibts die Formel so in Textform):
Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Schuss ein echter Schuss ist =
Summe(von i = 1 bis 4) von (4 über i)*(p^i)*((1-p)^4-i)
Da verallgemeinern wir das, was wir zuvor gemacht haben. Wir rechnen p^i weil wir i viele "Erfolge" haben und (1-p)^4-i, weil wir i viele Misserfolge haben. Jedes mal gibt es 4 über i viele Möglichkeiten.
Rechnen wir das aus, erhalten wir 671/1296 = 51,8 %
Ich weiß nicht, was du mit dem "addieren" meinst. Was möchtest du denn addieren? Du musst bei der Frage schon Wahrscheinlichkeiten addieren - aber eben die richtigen.
Die Grundidee ist eigentlich folgende: Was ist die Wahrscheinlichkeit dass du einen Schuss abgibst bei 4 Versuchen? Die Wahrscheinlichkeit dass es beim 4. Versuch passiert ist
(5/6)*(5/6)*(5/6)*(1/6)
Aber es muss ja nicht beim letzten Versuch passieren, es kann auch beim vorletzten passieren, dann wäre es ja:
(5/6)*(5/6)*(1/6)*(5/6)
Da aber die Multiplikation kommutativ ist (wir können vertauschen wie wir wollen), sind die beiden Wahrscheinlichkeiten gleich. Insgesamt kann der eine Schuss aber auch noch an erster oder an zweiter Stelle passieren. Jedes Mal ist es aber die gleiche Wahrscheinlichkeit, egal an welcher Stelle. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass es genau einen Schuss gibt (egal an welcher Position), ist einfach
4*(5/6)*(5/6)*(5/6)*(1/6) = 125/324
Als nächstes kann man sich das ganze für 2 Schüsse überlegen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die letzten zwei Versuche echte Schüsse sind? Das ist dann einfach:
(5/6)*(5/6)*(1/6)*(1/6)
Aber wieder müssen die zwei Schüsse ja nicht unbedingt am Ende passieren, sie können ja beliebig verteilt stattfinden. Bei einem Schuss wussten wir genau, dass dieser an 4 Positionen stattfinden konnte. Daher mussten wir einfach die eine Wahrscheinlichkeit mit 4 multiplizieren. Jetzt ist aber die Frage, wie viele Möglichkeiten haben wir die 2 Schüsse anzuordnen? Und dafür gibt es so eine Formel, den Binomialkoeffizienten. Der beantwortet ganz allgemein die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn du n Elemente insgesamt hast, k davon auszuwählen. Wir schreiben dann "n über k". In unserem speziellen Fall haben wir 4 Versuche und wollen wissen, wie viele Möglichkeiten wir haben, aus diesen 2 auszuwählen (die Treffer), also bei uns "4 über 2". Die Berechnung ist dann folgende:
"n über k" = n!/((n-k)!*k!)
Dabei ist ! die Fakultät. Fakultät bedeutet einfach folgendes: 5! = 1*2*3*4*5
Also du multiplizierst alle natürlichen Zahlen auf, bis du bei der entsprechenden Zahl angekommen bist. Bei uns also:
"4 über 2" = 4!/((4-2)!*2!) = 4!/(2! * 2!) = 24/(2*2) =24/4 = 6
Es gibt also 6 Möglichkeiten 2 Elemente aus 4 auszuwählen. Bei uns gibt es also 6 Möglichkeiten die zwei echten Schüsse in der Reihenfolge der 4 Versuche anzuordnen. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass es genau 2 Schüsse gibt:
6*(5/6)*(5/6)*(1/6)*(1/6) = 25/216
Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass es genau zwei oder einen Schuss gibt:
125/324 + 25/216
Also einfach die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten, die wir bisher ausgerechnet haben.
Jetzt müssen wir das mit 3 Schüssen wiederholen, wie viele Möglichkeiten gibt es 3 Schüsse aus 4 Versuchen auszuwählen? Dazu könnten wir "4 über 3" ausrechnen, oder wir wenden einen Trick an: Wenn 3 Schüsse treffen sollen, dann trifft nur einer nicht. Das heißt wir können uns auch Fragen, wie viele Möglichkeiten gibt es den einen Nicht-Treffer anzuordnen? Dafür gibts offensichtlich 4 Möglichkeiten (Position 1, 2, 3 oder 4), wie eben auch schon vorher, als nur ein Schuss treffen sollte. Die Wahrscheinlichkeit ist also:
4*(5/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6) =5/324
Und als letztes benötigen wir noch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 4 Schüsse Treffer sind. Da ist die Wahrscheinlichkeit einfach (1/6)*(1/6)*(1/6)*(1/6) = 1/1296. Jetzt addieren wir alles zusammen:
125/324 + 25/216 + 5/324 + 1/1296 = 671/1296 = 0,5178... = 51,78 %
Hast du das so verstanden? Wenn nein, dann sag bitte, welche Stellen du nicht verstanden hast, dann kann ich dir konkret weiterhelfen.
Danke für deine Hilfe
mit addieren meinte ich nur,dass was der erste kommentator geschrieben hat
er meinte damit, dass ich die 1/6 addieren soll statt sie zu multiplizieren um die wahrscheinlichkeit von einmal statt von immer zu erhalten also
1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=6/36=1/6
und ich wollte wissen ob das stimmen kann aber anhand deiner erklärung konnte man ja sehen, dass das nicht der fall ist
Ich denke, die Frage "oder mehr" ist in der Praxis irrelevant.
Ich hoffe es aber dann wäre das meißte an Mathe in der Praxis irrelevant
Hallo
1danke für die korektur habe mich vertippt
2beim Revolver ist es die Trommel und bei der Pistole das Magazin
3die Trommel wird jedesmal neu gedreht
4ist das mit dem addieren falsch
5 ich bin in der 8 klasse und habe nur 50% verstanden
6Danke für deine Mühe