Rotationsparaboloid Mantelfläche
Gegeben ist eine Parabel y = x²/4, Rotation um x-Achse
Berechne die Mantelfläche, die bei dieser Rotation entsteht in den Grenzen [0;4]
Kann mir dabei jemand helfen?
Ich habe schon Ansätze einer Lösung gefunden bin mir aber nicht sicher ob es stimmt, mein Zwischenergebnis:
M = 2pi * int x²/8 * (x² + 4)^(1/2) dx in den grenzen [0;4]
Kann mir jemand sagen ob es bis hierher stimmt?
7 Antworten
Bitte Bescheid sagen, wenn das falsch ist (und warum): A=2·pi·int(x²:4)dx von 0 bis4
=2·pi·[x³:12) von 0 bis 4
= 2·pi·64:12
=(32:3)·pi
Das von Tan39ja gefundene Integral für die Mantelfläche bei Rotation des Graphen y=x^2/4 um die x-Achse integriert über x von 0 bis 4 lässt sich analytisch lösen (ohne partielle Integration): M=2piint (x^2)/8(x^2+4)^(1/2)dx = (pi/4)int (x^2)(x^2+a^2)^(1/2)dx mit a^2=4, man schreibt das Integral wie folgt: M=(pi/4)int (x^2)(X)^(1/2)dx, mit X=x^2+a^2 Grenzen [0;4] Im Bronstein-Semendjajew "Taschenbuch der Mathematik" Ausgabe 1965 Leipzig, Seite 309, Integral-Nr. 187 findet man die Lösung: M=(pi/4){x/4(X^3)^(1/2) - (a^2)/8[x(X)^(1/2)+(a^2)ln(x+(X^(1/2)]} mit a^2=4 und X=x^2+a^2 in den Grenzen x=0 bis x=4 erhält man nach dem Ausmultiplizieren: M=59,296 Zum Vergleich bei "Wolfram alpha" M=60,956 Die Differenz von 1,66 hängt sicherlich mit dem numerischen Verfahren bei Wolfram alpha zusammen.
Die von Dir dargestellte Gleichung ist die Lösung für die Rotation des Graphen y=x²/4 um die y-Achse integriert über x. Das ergibt aber eine ganz andere Fläche als bei Rotation um die x-Achse integriert über x (wie verlangt). Für die Rotation um die x-Achse gilt:
M=2*pi*int x*sqrt((1+y'^²)*dx (sqrt soll die Wurzel sein) Mit y=x²/4 wird y'=x²/2 und y'²=x²/4 folglich: M=2*pi*int x*sqrt(1+(x^2)/4)*dx oder wenn man das x unter die Wurzel nimmt:
M=2*pi*sqrt(x^2*(1+(x^2)/4))*dx oder M=2*pi*int sqrt(x^2+(x^4)/4)*dx bzw. M=2*pi+int sqrt(x^2+a*x^4)*dx mit a=1/4 in den Grenzen x=0 bis x=4
Das Integral ist ekelig. Im Bronstein habe ich nichts gefunden. Man muss es wohl numerisch lösen oder "Wolfram alpha" fragen.
Die Lösung von Tan93ja M=2piint x²/8*(x²+4)^(1/2)dx [0;4] ist richtig! Meine gestrige Anwort dazu war falsch. Ich habe um die y-Achse gedreht anstatt um die x-Achse. Entschuldigung. Ich versuche mal das Integral mit partieller Integration zu lösen. Sollte es gelingen, werde ich es mit Wolfram Alpha vergleichen und mich nochmal melden. Nochmals Entschuldigung für meine Blödheit. Tan93ja hat richtig gerechnet.
soweit bin ich auch schon :) will nur wissen ob ich das richtige ergebnis bis jetzt habe.