Rekursive / Explizite Bildungsgesetze?
Hallo zusammen, ich sitze nun seit fast 2 Stunden an diesen Aufgaben. Könnte sie mir jemand erklären?
Das Beispiel im oberen Bild ( an = 5n+3 und an = 3x4n ) und die Nummer 6 und 7.
Wo genau hängst denn? Verstehst du, wie man auf diese rekursive Vorschrift kommt? Man setzt einfach n+1 ein und formt um
Ich verstehe nicht wie man auf die a1=8 und an=5 kommt :/
Man setzt einfach für n = 1 ein, also beim oberen hast du ja a_n = 5n + 3, wenn du da n = 1 einsetzt kommt da 8 raus, beim anderen genauso
Ok, alles klar. Und wieso steht da am Ende an=5? Wieso ist die 3 dann weg?
2 Antworten
Hallo,
eine rekursive Formel einer Folge sagt Dir, wie Du - wenn Du ein bestimmtes Folgenglied kennst - von da an auf das nächste kommt.
Eine explizite Formel sagt Dir, wie ein beliebiges Folgenglied heißt. Dazu mußt Du das Folgenglied davor nicht kennen.
Beispiel: an=5n+3.
Das ist eine explizite Formel. Du gibst für n einfach die Nummer des Folgengliedes ein, das Du bestimmen möchtest und bekommst sofort den Wert dafür.
a1=8, denn 5*1+3=8.
a10=53, denn 5*10+3=53 usw.
Möchtest Du zu dieser expliziten Formel eine rekursive Formel bestimmen, überlegst Du, wie sich aufeinanderfolgende Folgenglieder unterscheiden.
a1=8 ist bekannt. a2=2*5+3=13, a3=3*5+3=18.
Die ersten drei Glieder dieser Folge lauten 8,13,18 und das Muster erschließt sich direkt: Die Folgenglieder unterscheiden sich jeweils um 5. 13 ist um 5 größer als 8, 18 ist um 5 größer als 13 usw.
Die rekursive Formel dieser Folge lautet daher a(n+1)=an+5, zu Deutsch: Wenn Du ein bestimmtes Folgenglied hast, addiere 5 und Du bekommst das darauffolgende Folgenglied.
Du kannst die rekursive Formel auch etwas abstrakter bestimmen, indem Du nicht die ersten drei Folgenglieder betrachtest, sondern irgendwelche Folgenglieder an und a(n+1), die direkt aufeinanderfolgen.
Du setzt in die explizite Formel an=5n+3 für n den Term n+1 ein und bekommst
a(n+1)=5*(n+1)+3=5n+5+3.
Wenn Du die 5 und die 3 hinten vertauschst, was nach dem Kommutativgesetz erlaubt ist, erhältst Du a(n+1)=5n+3+5.
5n+3 ist aber die Formel für das Glied Nr. n und Du kannst diesen Ausdruck durch an ersetzen, ist ja das Gleiche.
Dann ist a(n+1)=an+5. Damit hast Du die rekursive Formel aus der expliziten hergeleitet.
So geht das immer: Du gibst in die explizite Formel einer Folge anstelle von n den Ausdruck n+1 ein und vergleichst dann, wodurch sich an und a(n+1) unterscheiden bzw. in welchem Teil von a(n+1) an steckt.
Dazu ist oft die eine oder andere Umformung nötig.
Der Rest ist Übungssache.
Herzliche Grüße,
Willy
Das ganze funktioniert so: Du hast eine explizite Vorschrift, dh. dein a_n ist irgendwie gegeben durch sowas wie a_n = 5n + 3. Eine rekursive Vorschrift wäre es, wenn rechts vom Gleichheitszeichen sowas wie a_(n-1) stehen würde. Zum Beispiel ist a_n = a_(n-1) + 1 eine rekursive Vorschrift. Um zum Beispiel a_10 zu berechnen, muss man dann erst a_9 berechnen und dafür a_8 usw. Bei einer expliziten Vorschrift hingegen kann man direkt ein beliebigen Term bestimmen. Jetzt ist die Frage, kann man eine explizite Vorschrift in eine rekursive umwandeln, bzw andersrum? Jo, das geht.
Explizit in rekursiv: Du möchtest jetzt dein a_n irgendwie als a_(n-1) schreiben (oder eben a_(n+1) irgendwie als a_n). Dazu setzt du einfach n+1 ein und formst so um, dass du den Ausdruck für a_n wieder bekommst. Wieder das Beispiel a_n = 5n + 3: Du willst a_(n+1) jetzt irgendwie mithilfe von a_n schreiben. Dazu schauen wir uns a_(n+1) einmal an: a_(n+1) = 5(n+1) + 3. Hier suchst du jetzt deine Vorschrift für a_n, also 5n+3. Es gilt: a_(n+1) = 5(n+1) + 3 = 5n + 3 + 5 = a_n + 5. Damit ist also deine rekursive Vorschrift a_(n+1) = a_n + 5.
Rekursiv in explizit: Schreib dir die ersten Glieder der Folge auf und schau, ob du irgendwie ein Muster erkennen kannst