Rechteck falten und Fläche des entstandenen Dreiecks berechnen?
Ein rechteckiges Blatt Papier (150mm x 200mm) und den Eckpunkten 1, 2, 3 und 4 wird so gefaltet, das die Eckpunkte 1 und 3 genau übereinander liegen. Danach wird der Vorgang mit den Eckpunkten 2 und 4 wiederholt. Die entstandenen Faltkanten schneiden sich exakt im Mittelpunkt des Rechtecks und bilden Dreiecke. Danach sieht das Rechteck folgendermaßen aus: siehe Bild
Wie groß ist der Flächeninhalt des roten Dreiecks? Wie geht das?
2 Antworten
Du kannst die Strecka a zwischen dem Punkt 1 und
der linken unteren Ecke des Dreiecks mit dem Pythagoras
bestimmen. Die eine Kathete ist a, die andere 150mm,
die Hypothenuse ist 200-a:
a² + 150² = (200-a)²
a² + 150² = 40000 - 400a + a²
a = 43.75
Die basis des Dreiecks ist also 112.5,
die Höhe ist 75, daraus bekommst du die Fläche.
Hallo,
als Alternative zur Antwort von Tannibi kannst Du dies auch über Vektoren berechnen.
Die Ecke 1 links unten sei (0|0), 2 rechts unten (200|0), 3 rechts oben (200|150)
Der Mittelpunkt des Rechtecks ist dann (100|75).
Die Knicklinie, die entsteht, wenn Du Ecke 1 auf Ecke 3 faltest, verläuft senkrecht zur Diagonale 1 - 3.
Der Vektor von 1 nach 3 ist Vektor (200-0|150-0)=(200/150)=50*(4/3)
Ein Vektor, der dazu senkrecht verläuft und vom Mittelpunkt aus verläuft,
hat die Vektorgleichung (100/75)+k*(-3/4).
Ein Vektor von Ecke 1 nach Ecke 2 hat die Gleichung l*(1/0) nach Kürzen durch 200.
Der Punkt, an dem die Knicklinie auf die untere Seite des Rechtecks trifft, berechnet sich daher aus der Gleichung:
(100/75)+k*(-3/4)=l*(1/0)
Daraus läßt sich das Gleichungssystem
100=3k+l
75=-4k
herleiten.
Aus der zweiten Gleichung ergibt sich, daß k=-75/4=-18,75
Der Punkt liegt also bei (100/75)-18,75*(-3/4)=(156,25/0)
Er liegt also auf der Unterseite des Rechtecks in einer Entfernung von
156,25 mm von Ecke 1 entfernt und 56,25 mm von der Mitte entfernt.
Die halbe Grundseite des gesuchten Dreiecks hat demnach 56,25 mm und das ergibt multipliziert mit der Höhe des Dreiecks von 75 mm
eine Fläche von 4218,75 mm²
Das ist der gleiche Wert, den auch die Antwort von Tannibi ergibt, nur auf einem anderen Weg ermittelt.
Herzliche Grüße,
Willy
Danke für diese Alternative, konnte ich problemlos nachvollziehen.