Extremwertaufgabe Mathe?

Die Giebelwand eines Hauses besteht aus einem Rechteck mit aufgesetztem gleichschenkligen Dreieck. Der Hausbesitzer möchte ein rechteckiges Panoramafenster einsetzen lassen, dessen Grundseite auf der 10 m langen Giebelbasis aufsitzt. Welche Maße besitzt das Fenster, wenn der Hausbesitzer einen möglichst großzügigen Ausblick genießen will? Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt des Fensters. Wie bekomme ich das hin?

Answer 1

[Hamburger02]

Zuerst legen wir mal ein Koordinatensystem über die Zeichnung und bestimmen die wichtigen Punkte:

Hauptbedingung:
A = 2x * y

NB:
Dazu müssen wir die Geradengleichung der Dachschräge aufstellen:
Ansatz:
y = mx + b
m = Δy / Δx = (2 - 5,5) / (5) = -3,5 / 5 = -0,7
b = P2y = 5,5

Daraus ergibt sich die Nebenbedingung für P3:
y = -0,7x + 5,5

Zielfunktion:
nun setzen wir die NB in die HB ein und erhalten die Zielfunktion:
A = 2x * (-0,7x + 5,5) = -1,4x^2 + 11x

Da A maximal werden soll, gilt:
A' = 0
-2,8x + 11 = 0
x = 11/2,8 = 3,93 m

und damit:
y = -0,7* (11/2,8) + 5,5 = 2,75 m
A =2 * 11/2,8 * 2,75 = 21,6 m^2

...aber bitte alles nachrechnen.