Problem mit Limesberechnung - Wurzeln?

Hallo, ich löse hier Aufgaben zur Limesbestimmung, die ziemlich kompliziert sind.

Ich weiß, dass man das ein wenig umformen muss, damit sich was rauskürzt und man dann den Limes bestimmen kann.

Aber jetzt sind hier einmal Wurzeln hoch 3 und einmal drei Wurzeln und ich weiß nicht, wie ich die algebraisch wegkriege...

Kann mir vllt jemand helfen?

Danke schonmal :)

Answer 1

[mihisu]

Um Grenzwerte mit Differenzen von Quadratwurzeln in den Griff zu bekommen, hast du evtl. schon einmal gesehen, dass es sinnvoll sein kann, entsprechend der dritten binomischen Formel zu erweitern.

Beispiel:

Die Idee dahinter ist es also bei einer Differenz zweier Wurzeln √(p) - √(q) so mit einem Faktor zu erweitern, dass man dann (√(p))^2 - (√(q))^2 = p - q erhält und die Wurzeln wegfallen. [Dafür erhält man auf der anderen Bruchseite zwar Quadratwurzeln, aber als Summe von Quadratwurzeln, statt als Differenz von Quadratwurzeln, was dann weniger Probleme bereitet.]

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Die Idee nun ist es, bei der Differenz von dritten Wurzeln etwas Ähnliches zu machen, also a - b so zu erweitern, dass man a³ - b³ erhält und die dritten Wurzeln dann wegfallen. Statt der binomischen Formel a² - b² = (a - b) ⋅ (a + b) kann man dafür die Formel...

$a^3-b^3=\left(a-b\right)\cdot\left(a^2+ab+b^2\right)$

... verwenden. Das sind alles Spezialfälle der Formel...

$a^{n+1}-b^{n+1}=\left(a-b\right)\cdot\left(a^n+a^{n-1}\cdot b+a^{n-2}\cdot b^2+...+a\cdot b^{n-1}+b^n\right)$

$a^{n+1}-b^{n+1}=\left(a-b\right)\cdot\sum_{_{k=0}}^na^{n-k}\cdot b^k$

Jedenfalls erhält man dann im konkreten Fall...

Answer 2

[DerRoll]

Bei derxersten Teilaufgabe hilft die verallgemeinerte dritte binomische Formel, ein mathematisches Standardwerkzeug.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Answer 3

[mihisu]

Die Wurzeln musst du gar nicht komplett wegbekommen. Du musst nur so viel ausklammern und kürzen, dass du den Grenzwert berechnen kannst.

Bei solchen Grenzwerten mit einem Bruch hilft es oftmals, jeweils die höchste Potenz der Variable im Zähler und im Nenner auszuklammern. Im konkreten Fall hast du im Zähler x^(1/2), x^(1/3) und x^(1/4). Im Nenner hast du etwas von Größenordnung x^(1/2). Demnach ist es evtl. sinnvoll x^(1/2), also √(x) auszuklammern und zu kürzen.

Comments

[mihisu]

Irgendwie hatte ich gerade nur die untere Aufgabe im Blick gehabt. Bei der oberen Aufgabe hilft das noch nicht direkt. Dazu schreibe ich gleich nochmal eine Antwort.