Problem bei Kreis bzw. Geradendarstl. im Komplexen?
Hallo, ich habe ein Problem beim Darstellen einer Geraden im Komplexen. Ich würde gerne die Gerade: Menge aller z Element von Komplex, für die gilt: Re(z) - Im(z) - 1 = 0; in eine der Form: Menge aller z Element von Komplex, für die gilt: a*Betrag(z)^2 + q*z + q(konjugiert)*z(konjugiert) + b; bringen. Hierbei solle man bei dem Wert q auf 1/2*(1 + i), a = 0 und b = -1 kommen. Leider habe ich keinen Plan, wie man auf q = 1/2*(1 + i) kommt.
2 Antworten
Dein Text ist schwierig zu lesen, habe mich aber durchgekämpft:
Da es sich bei der betrachteten Punktmenge um eine Gerade handelt, muss der quadratische Anteil in der gesuchten Darstellung verschwinden, es gilt also: a = 0.
Du kannst die komplexe Variable z auch als z = x + iy darstellen; dann ergibt sich für die betrachtete Punktmenge Re(z) - Im(z) - 1 = 0, wenn man die Gaußsche Zahlenebene einfach als x-y-Ebene auffasst, die Darstellung: x - y - 1 = 0, also y = x - 1. Vielleicht fällt es Dir einfacher, mit dieser aus der Schule bekannten Darstellung zu rechnen…😀
Die Gerade y = x - 1 ist die um eine Einheit nach unten verschobene Winkelhalbierende des Koordinatensystems - die Steigung ist 1; der Punkt 1/2 (1+i) oder auch 1+i liegen ebenfalls auf der Winkelhalbierenden des Ursprungs, b = -1 ist die Verschiebung der Geraden um eine Einheit nach unten…
z = x + iy
q = v + iw
Die Gerade ist gegeben durch x-y-1=0 und a muss gleich 0 sein, siehe ChrisGE1267.
In a*Betrag(z)^2 + q*z + q(konjugiert)*z(konjugiert) + b können wir zudem sofort b = -1 identifizieren.
Bleibt noch
q*z + q(konjugiert)*z(konjugiert) = 2 Re(q*z) = 2(xv-yw), was gleich x-y sein muss.
Hier aus folgt durch Koeffizientenvergleich v = 1/2 und w = 1/2, was zu q=(1+i)/2 führt.
Danke erstmal, jedoch habe ich noch eine Frage: wie kommt man bei dieser Darstellung auf q = 1/2*(1+i) ?