Komplexe Zahl in algebraische als auch trigonometrische Form?

Hi ihr Lieben,

ich soll die algebraische und trigonometrische Form von z berechnen.

$z\ =\ i^{186846234}$

Ich weiß, dass gilt für Polarform:

a=Re(z) = r *cos(phi)

b=im(z) = r*sin(phi)

z=r*e^phi = r(cos(phi) +isin(phi))

r = |z|=sqrt(a^2 + b^2)

und

algebraische Form:
z= a+bi

Ich bin mir hier unsicher, da z nicht in der gewohnten Schreibweise steht. Ich dmals mal, wie man das macht.

Answer 1

[SlowPhil]

Hallo Mila1sweet,

ich dachte beim ersten Blick, es gehe um einen gebrochenen irrationalen Exponenten 1,868..., aber da steht ja 186.846.234, was eine Natürliche Zahl ist.

Der Betrag ist natürlich 1, weil r = 1 ist, und 1 hoch irgendwas ist immer gleich 1.

Ganzzahlige Potenzen wiederholen sich irgendwann, wenn der Phasenwinkel in einem rationalen Verhältnis zum Vollwinkel 2π steht. Und der ist bei i = e^i∙½π eben ¼ des Vollwinkels. Deshalb wiederholen sich die Potenzen eben alle 4 Mal.

Abb. 1: Die Potenzen von i

Nun ist 186.846.234 durch 2, aber nicht durch 4 teilbar, und deshalb ist

186.846.234 mod 4 = 2.

Deshalb kommt auch −1 = e^i∙π heraus.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[SlowPhil]

Vielen Dank für den Stern!

Answer 2

[indiachinacook]

Da i⁴=1 und daher auch i⁴ⁿ=1, kannst Du diesen Ausdruck stark vereinfachen. Die Zahl 186846234 liefert bei Division durch 4 den Rest 2 (um das herauszufinden, muß man sich ja nur die letzten beiden Stellen ansehen), also ist z=i¹⁸⁶⁸⁴⁶²³⁴=i²=−1, und das schreibt man kartesisch als z=0+i und in Polarkoordinaten z=1⋅e^iπ.

Answer 3

[eterneladam]

z = i^186846232 × i^2 = -1, da i^4 = 1