Potenzfunktionen bestimmen durch zwei Punkte?

Hallo. Ich brauche bei der oberen Aufgabe dringend Hilfe. (man soll Potenzfunktionen bestimmen)

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

[Quotenbanane]

Scheinbar darf man es mit einer Potenzfunktion beliebiger Hochzahl machen.

Daher wähle ich jetzt mal die gute alte allgemeine Form....

$f\left(x\right)=a\cdot x^n$

Es gilt daher nur noch das a zu bestimmen.

a) P(-2|-48) und Q(3|162)

$1.\ \rightarrow\ -48=a\cdot\left(-2\right)^n$

$2.\ \rightarrow\ 162=a\cdot3^n$

$\frac{1}{2}.\rightarrow\ \frac{a\cdot\left(-2\right)^n}{a\cdot3^n}=-\frac{48}{162}\ \Rightarrow\ \left(\frac{-2}{3}\right)^n=-\frac{8}{27\ }\Rightarrow\ n\ =\ 3$

Einsetzen in 1 oder 2....

$1.\ \rightarrow\ 162=a\cdot3^{3\ }\Rightarrow\ a\ =\ 6$

Die Gleichung lautet also...

$f\left(x\right)=6x^3$

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Dasselbe kannst du schätze ich mal auch für's zweite machen (habs noch nicht ausprobiert).

Für 3) ist's sogar noch einfacher. Da weißt du sofort, was a ist, denn 1^n ist immer 1 und fällt weg.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Comments

[Halbrecht]

was a ist weiß man sofort , aber nicht welches n ........... und mihisu findet keins mit ganzem Exponenten............... alldieweil die Frage sowieso nicht klar sagt , welche Mengen für den Exponenten zugelassen sind . Anhand der nächsten Aufgabe oben, denke ich aber, daß es nur ganze ,maximal 1/n sein kann.

[Quotenbanane]

@Halbrecht

was a ist weiß man sofort , aber nicht welches n 

bei c) ja, bei den anderen Aufgaben weiß man das nicht sofort, was a ist.

und mihisu findet keins mit ganzem Exponenten

Nur bei der letzten Frage. Und das bleibt dann dem Fragesteller (bzw. seiner Lehrerin) überlassen, ob nur ganze Zahlen zählen, oder auch die Lösung f(x)=7x^(ln(126/7)/ln(3)) zugelassen ist.

Answer 2

[Halbrecht]

nur kurz : wenn mit PF gemeint ist : y = a * x hoch n und n Zahl aus Z

dann kann man für den Punkt ( 1/7 ) keine Fkt finden , denn 1 hoch irgendwas kann nicht 7 werden

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[Quotenbanane]

f(x)=a*x^n mit a=7 geht trotzdem durch P(1|7)

[Halbrecht]

@Quotenbanane

habe ichdoch a* hingeschrieben............. argument gilt natürlich nur für y = x^n

Answer 3

[mihisu]

Potenzfunktionen sind Funktionen mit Funktionsgleichungen der Form

$f\left(x\right)=a\cdot x^r$

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a)

Da die Potenzfunktion durch die Punkte P(-2|-48) und Q(3|162) verlaufen soll, muss f(-2) = -48 und f(3) = 162 sein.

$a\cdot\left(-2\right)^r=-48\ \text{ und }\ a\cdot3^r=162$

Dividiert man die beiden Gleichungen, erhält man ...

$\frac{a\cdot\left(-2\right)^r}{a\cdot3^r}=\frac{-48}{162}$ $\rightarrow\ \left(-\frac{2}{3}\right)^r=-\frac{8}{27}$

Nun kann man evtl. auch schon leicht sehen, dass dies nur für r = 3 erfüllt ist.

[Ansonsten könnte man auch erkennen, dass dies aufgrund der negativen Vorzeichen nur für ungerade ganze Zahlen r möglich ist. Dann ist das äquivalent zu (2/3)^r = 8/27 und man kann mit Logarithmus nach r auflösen, um r = 3 zu erhalten.]

Einsetzen von r = 3 in die Gleichung a ⋅ 3^r = 162 und auflösen nach a ...

$a\cdot3^3=162$ $\rightarrow\ 27a=162$ $\rightarrow\ a=\frac{162}{27}=6$

Dementsprechend ist nur die durch

$f\left(x\right)=6\cdot x^3$

gegebene Potenzfunktion möglich.

============

Die anderen Teilaufgaben gehen eigentlich genauso: Mit dem Ansatz f(x) = a ⋅ x^r und den beiden gegebenen Punkten zwei Gleichungen aufstellen. Dann versuchen das entsprechende Gleichungssystem zu lösen, um die Parameter a und r zu bestimmen.

Comments

[mihisu]

b) Einzige Möglichkeit: f(x) = 1,5 ⋅ x⁴

c) Einzige Möglichkeit: f(x) = 7 ⋅ x^(log₃(18))