Potenzen addieren - welche Regeln gelten hier?
Hey, mal eine kurze Frage zu Potenzgesetzen. :) Ich arbeite gerade ein Kapitel dazu ab, aber einige Möglichkeiten werden dort nicht behandelt.
Wenn:
a² + b² = (a + b)²
und
a² + a³ = a(²+³)
wie ist es dann bei
a² + b³
Lassen sich hier noch irgendwelche Potenzgesetze anwenden? Könnte man bspw.
a² + b³ = (a + b) (²+³)
rechnen, oder müsste man entweder beide Potenzen ausmultiplizieren, um sie dann miteinander zu addieren. Oder sie als Produkt behandeln, wenn es sich um Elemente mit einer Unbekannten handelt?
Sprich:
2³ + 3² = (2 x 2 x 2) + (3 x 3) ≠ (2 + 3) (³ + ²)
a² + b³ - bleibt, wie es ist.
3 Antworten
Wenn:
a² + b² = (a + b)²
Das ist eine falsche Annahme.
und
a² + a³ = a(²+³)
Auch das ist falsch.
a² + b³ - bleibt, wie es ist.
Ja.
Welche Potenzgesetze gelten denn dann generell bei Addition und Subtraktion mit unterschiedlichen Basen und oder unterschiedlichen Exponenten?
Die Potenzgesetze gelten immer.
Quadratmeter und Kubikmeter kann man halt nicht addieren. 😉
In meinem Kurs wird nur Multiplikation behandelt.
Das hat schon seinen Grund. 🙂👍
Man kann Potenzen nicht so addieren.
Es ist
(a+b)² = (a+b)*(a+b) = a * (a+b) + b *(a+b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².
Mach es dir graphisch klar: Mal dir ein Quadrat mit der Seitenlänge a+b auf, dann die beiden kleineren Quadrat, dann siehst du, warum das nicht dasselbe ist.
Und es ist im Allgemeinen auch
Setze einfach mal a=1, dann siehst du das.
Potenzieren ist eine verkürzte Schreibweise für das mehrfache Multiplizieren:
a² = a * a.
Die ganzen Potenzgesetze leiten sich daher aus den Regeln für die Multiplikation her. Addiert wird da höchstens der Exponent bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis:
Auch das ist eine Folge der Regeln für die Multiplikation. Die Basen zu addieren, so wie du das gemacht hast, ist eigentlich immer falsch. Es gibt da keine einfachen Regeln.
Was man später lernt (oft gar nicht an der Schule), ist der binomische Lehrsatz
mit dem man zumindest einen Ausdruck für die Potenz einer Summe hat. Aber für solche Terme wie a² + b³ gibt es keine allgemeinen Regeln zur Vereinfachung, die bleiben einfach stehen, Äpfel und Birnen lassen sich nicht addieren.
a² + b²
Das lässt sich nicht vereinfachen oder umformulieren und muss daher so stehen bleiben. Höchstens, wenn a und b durch konkrete Zahlen ersetzt werden, könnte man das ausrechnen.
Welche Potenzgesetze gelten denn dann generell bei Addition und Subtraktion mit unterschiedlichen Basen und oder unterschiedlichen Exponenten? In meinem Kurs wird nur Multiplikation behandelt.