Physik..ich versteh die Frage nicht. Es geht und Zeitdilation und Myonen, kann mir wer helfen?
Unsere Lehrerin hat uns eine Frage gegeben: Myonen entstehen 12 km über dem Erdboden und bewegen sich mit 0,99942 c. Ihre Halbwertszeit beträgt 1,52 (mü)s. Für die Strecke von 12 km sollten sie etwa 40 (mü)s brauchen. Von den ursprünglichen Myonen sollte also unter ein Tausendstel übrig sein. Tatsächlich ist aber noch fast die Hälfte übrig! Erläutere dieses Phänomen aus Sicht des Systems “Labor auf der Erde” und des System “Myon” (beides Inertialsysteme!). Und eine Skizze soll angefertigt werden!
3 Antworten
Hallo Lovlyn333,
mir ist nicht ganz klar, was genau Dir unklar ist. Daher wird meine Antwort mehrteilig.
Was genau ist die Frage?Die Aufgabenstellung will darauf hinaus, dass Beobachtung der Myonen einen experimentellen Nachweis für ein Phänomen liefern, das „Zeitdilatation“ (ZD) genannt wird, und damit für die Spezielle Relativitätstheorie (SRT), denn in der NEWTONschen Mechanik (NM) gilt Zeit als absolute Größe.
Du sollst also vergleichen, wie viele Myonen ohne und wie viele mit ZD an der Bodenstation nachgewiesen werden sollten - und wie viele tatsächlich gemessen werden.
Leider ist in der Aufgabenstellung von der Geschwindigkeit die Rede. Tatsächlich richtet sich die aber nach der (spezifischen kinetischen) Energie, die den Teilchen auf den Weg mitgegeben wird, und nicht umgekehrt. Interessanter wäre also ein Vergleich mit der Voraussage der NM über Myonen mit der Energie, die in der SRT mit v=0,99942c verbunden ist.
Hintergrund Der radioaktive ZerfallJede Sorte instabiler Teilchen hat eine spezifische Wahrscheinlichkeit dafür, nach einer bestimmten Zeitspanne noch nicht in Teilchen mit geringerer Energie zerfallen zu sein. Deshalb zerfällt eine bestimmte Menge dieser Teilchen exponentiell, d.h., ihre Zahl schrumpft in gleichen Zeiten um den gleichen Faktor - der bei der Halbwertszeit T_½ gerade ½ beträgt. Nach der Zeit n∙T_½ ist noch das 1/2ⁿ−fache der Ausgangsmenge übrig, nach 10·T_½ zum Beispiel 1/1024.
Wenn sich die Teilchen mit definierter Geschwindigkeit bewegen, „übersetzt“ dies gleichsam die Halbwertszeit in eine „Halbwertsstrecke“.
Das Myon...…, ein „Verwandter" des Elektrons mit viel größere Masse und damit Ruheenergie mc², ist ein instabiles Teilchen. Es entsteht durch die Kollision eines hochenergetischen Teilchens mit einem Gasmolekül der oberen Atmosphäre, mit kinetischen Energien, welche m·c² um ein Vielfaches übersteigen; deshalb beträgt ihre Geschwindigkeit fast c (nach NEWTON müsste sie ein Vielfaches von c betragen).
Die Teilchen haben nicht alle dieselbe Energie, man will aber nur die mit einer bestimmten Energie untersuchen. Daher werden sie gefiltert. Dabei werden besagte 12km die Höhe sein, unterhalb derer keine weiteren Teilchen genau dieser Energie entstehen. Von dort an abwärts nimmt die Anzahl dieser Myonen exponentiell ab.
Relativitätsprinzip und LichtgeschwindigkeitGALILEIs Relativitätsprinzip (RP) sagt aus, dass zwei relativ zueinander bewegte Beobachter dieselben grundlegenden Beziehungen zwischen physikalischen Größen (=Naturgesetze) feststellen.
Die Lichtgeschwindigkeit c ≈ 3×10⁸ m⁄s ist nicht einfach ein Tempo wie jedes andere auch, sondern lässt sich direkt aus den MAXWELLschen Gleichungen, also Naturgesetzen, herleiten und ist daher selbst ein Naturgesetz. Deshalb unterliegt es dem RP. Jeder der Beobachter würde bei einer Messung der Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Richtungen relativ zu sich auf c kommen. Genau darauf beruht die Spezielle Relativitätstheorie.
„Zeitdilatation“ und „Längenkontraktion“Einem relativ einfachen Gedankenexperiment unter lässt sich entnehmen, dass man eine Uhr, der man die Geschwindigkeit v zuschreibt, als um den LORENTZ-Faktor
(1) γ := 1⁄√{1 − β²} mit β = v⁄c
langsamer gehend interpretieren muss als eine, die man als ruhend beschreibt.
Übrigens ist γ auch das Verhältnis zwischen Gesamtenergie (Ruheenergie mc² + kinetische Energie) und der Ruheenergie allein.
Wenn v ganz dicht an c ist, kann man dies durch
(2) v = (1 − δ)·c mit δ << 1
ausdrücken, und in diesem Falle ist
(3) γ = 1⁄√{2δ − δ²} ≈ 1⁄√{2δ}.
In Deinem Beispiel ist zufällig δ = 5,8×10⁻⁴. Das führt ungefähr zu 1⁄γ = 3,4×10⁻² bzw. γ ≈ 29,5.
Damit erhöht sich die Halbwertszeit auf knapp 45μs und die Halbwertsstrecke auf knapp 13,5km, mehr als die Strecke vom Entstehungsort bis zum Labor auf der Erde - im Ruhesystem der Erde ausgedrückt.
Man kann das Szenario dank des RP auch im Ruhesystem der entstehenden Myonen beschreiben, in dem sich die Erde schnell bewegt, auf das kosmische Strahlungsfeld trifft und durch diese Kollisionen die Myonen erzeugt. Im Moment der Entstehung ist die Erdoberfläche nur noch ca. 400m entfernt, weniger als die Halbwertsstrecke, und so dauert es auch weniger als eine Halbwertszeit, bis sie die Myonen erreicht hat.
Die spezifische kinetische Energie εₖ der Myonen liegt bei knapp 28,5c². Nach der NM- Formel
(4.1) εₖ = ½v² = ½β²c²
ist natürlich
(4.2) v = c∙√{2εₖ} = c∙√{57} ≈ 7,5c.
Dies würde die oben berechnete Halbwertsstrecke auf immerhin 3420m erhöhen.
Beide Wörter sind aus mehreren Gründen irreführend:
- Es gibt hier kein brutales Gezerre und Gequetsche, sondern nur eine ganz sanfte Uminterpretation, und
- die Wörter suggerieren, ein Beobachter sehe einen anderen, der sich relativ zu ihm bewegt, in Zeitlupe, kürzer und näher, als er ist. Wenn er sich nähert, ist sogar das Gegenteil der Fall.
Angenommen, wir bewegen uns aufeinander zu; das Tempo nennen wir v. Du (A) siehst mich (C) gerade an einer Raumstation (B) vorbeikommen, die relativ zu Dir ruht und deren Entfernung d von Dir Du kennst.
Gehst Du davon aus, dass Du ruhst und sich das Lichtsignal mit c bewegt, muss das Signal schon d/c alt sein und ich mich schon auf
(5) d − v∙d⁄c = (d⁄c)(c − v) = d(1 − β)
genähert haben. Umgekehrt heißt das, ich sehe um den Faktor 1⁄(1 − β) weiter entfernt aus, als ich noch bin. Und falls mein Raumfahrzeug nicht direkt auf Dich zukommt, sodass Du auch dessen hinteres Ende sehen kannst, wird es sogar länger aussehen, als seine Ruhelänge beträgt. Und schneller als es ist.
Es sind auch gar nicht dieselben Strecken und Zeitspannen, die in der SRT als „gedehnt“ oder „gestaucht“ gemessen werden, sondern in den unterschiedlichen Koordinatensystemen Σ und Σ' sind jeweils unterschiedliche Ereignisspaare gleichzeitig.
Aus der Sicht der Erde vergeht für das schnelle Myon die Zeit langsamer (Zeitdilatation).
Aus der Sicht des Myons ist der Weg komprimiert.
Aus der Sicht des Myons ist der Weg komprimiert.
So ist das nicht ganz richtig oder zumindest irreführend. Man stellt sich dann ggf. vor, ein Myon würde (wenn es denn Augen hätte) eine um den Faktor √{1 − (v⁄c)²} verkürzte Strecke vor sich sehen.
Dem ist nicht so. Vielmehr sähe die Erdoberfläche im Moment der Entstehung sogar weiter weg aus als die besagten 12km, allerdings näherte sie sich scheinbar überlichtschnell, weil das Myon sie mit abnehmender Verzögerung sähe. Alles, was vor einem liegt, sieht bei so großen Geschwindigkeiten langgestreckt aus.
Falsch wäre eine Aussage wie "aus der Sicht des Myons ist die Strecke, die es zu fliegen hat, komprimiert". Dabei würde man nämlich trotz der "Sicht des Myons" das Szenario im Ruhesystem der Erde betrachten.
Kürzer ist aber die Strecke im Ruhesystem des Myons, und da bewegt sich gar nicht das Myon, sondern die Erde. Sie muss schon viel näher sein, als sie aussieht.
Das hat Professor Harald Lesch gestern ganz gut in seiner Sendung "Alpha Centauri" erklärt .
Kurz um wurde als Ursache für diesen Effekt die Geschwindigkeit im Bezug zu Einsteins Relativitätstheorie genannt .
Je schneller sich ein Objekt im Raum bewegt, umso langsamer vergeht die Zeit aus Sicht dieses Objektes. Lesch benannte in seiner Sendung eine Geschwindigkeit von 0,98 C für die Myonen .
Wenn ich mich nicht irre , nannte er dazu dann auch einen Faktor von 20 für die Zeitdilletation der Myonen gegenüber einem Betrachter auf der Erde .
Somit müßte Deine 1,52 Mikrosekunden Halbwertszeit aus Sicht der Myonen mit Faktor 20 multipliziert werden .
Lesch benannte in seiner Sendung eine Geschwindigkeit von 0,98 C für die Myonen. Wenn ich mich nicht irre, nannte er dazu dann auch einen Faktor von 20 für die Zeitdilletation
Du irrst Dich mit Sicherheit, und zwar bei der ersten Angabe. 0,98c ergäbe gerade mal einen Faktor von etwa 5.
Um den Faktor bei gegebener Geschwindigkeit zu erfahren, muss man nicht einen Professor fragen, sondern man kann selbst rechnen:
γ = 1⁄√{1 − (v⁄c)²} = 1⁄√{1 − 0,9604} ≈ 1⁄√{0,04} = √{25} = 5.
Die Formel lässt sich aber auch nach v umstellen:
γ² = 1⁄(1 − (v⁄c)²)
...
Teilweise noch unverständlich.. soll das die Antwort auf die Frage sein? :/