Physikaufgabe Relativitätstheorie?
Ein Raumschiff bewegt sich mit v = 0,998c von der Erde weg. Wie weit entfernt sich das Raumschiff in einem Jahr Erdzeit von der Erde?
Es soll nicht als 99,8% eines Lichtjahres sein!
5 Antworten
Hallo WarteDigga,
es ist nicht wirklich schwer zu rechnen. Es ist ja nur SRT.
Es soll nicht als 99,8% eines Lichtjahres sein!
Wenn die Frage ...
Wie weit entfernt sich das Raumschiff in einem Jahr Erdzeit von der Erde?
... kein Druckfehler ist, doch. Man kann sich aber auch leicht ausrechnen, wie weit es nach einem Jahr Bordzeit kommt. Dafür braucht man den LORENTZ- Faktor
(1) γ := 1/√{1 − β²} mit β := v⁄c,
was hier (1 − 2×10⁻³) ist; somit ist β² = 1 − 4×10⁻³ + 4×10⁻⁶ ≈ 1 − 4×10⁻³ und damit γ = 1/√{4×10⁻³} ≈ 16. Damit käme das Raumschiff in einem Jahr Eigenzeit knapp 16 Lichtjahre weit.
2×10⁻³ = 2∙(1⁄10)∙(1⁄10)∙(1⁄10) = 2‰
Die Zehnerpotenz- Schreibweise ist in der Wissenschaft sehr verbreitet und macht auch das Rechnen einfacher.
Ich meinte nur, woher allgemein diese Zahl in der Rechnung kommt
Es ist die Differenz zwischen β := v⁄c und 1:
0,998 = 1 − 0,002 = 1 − 2×10⁻³
So kann ich die Zahl besser quadrieren, nämlich über die 2. Binomische Formel.
Zahlen, die so dicht an 1 liegen, lassen sich recht einfach näherungsweise quadrieren, radizieren und invertieren.
Ahhh ok vielen Dank. Bist der einzige der mir eine richtige Antwort gegeben hat. Habe 3 mal gefragt und niemand hat was verstanden
Hi wollte nochmal fragen wie genau du von 1/√{4×10⁻³} auf 16 kommst
Auf knapp 16, etwas weniger.
Weil 4×10⁻³ = 40×10⁻⁴ ist, und der Kehrwert davon ist 0,025×10⁴ = 2,5×10², und 256 ist gleich 16².
Vermutlich sollst du dies aus Sicht des Raumfahrers berechnen. Der sieht den Abstand verkürzt.
Nein. Das ist dann in der nächsten Aufgabe. Hier ist es aus der Sicht der Erde (Erdzeit)
Er sieht den Abstand nicht verkürzt, er sieht ihn verlängert. Was immer sein Ziel ist, er sieht es nicht da, wo es gerade ist, sondern wo es war, als es das "jetzt" gesehene Licht ausgesendet hat.
Du beschreibst hier den klassischen Dopplereffekt. Zusätzlich zu diesem gibt es aber eine relativistische Lorentz-Kontraktion.
Die LORENTZ- Kontraktion bedeutet freilich nicht, dass die fragliche Strecke kürzer aussähe, sondern sie ist kürzer – im Ruhesystem des Reisenden gerechnet. Im gemeinsamen Ruhesystem von Start und Ziel ist sie hingegen länger.
In Zahlen, für β=0,6 (das lässt sich besonders gut rechnen) und für d=6 Lichttage zwischen A und B:
Als Reisender bei A sähe für mich die Strecke
d∙K := d√{(1 + β)/(1 − β)} = 12 Lichttage
entfernt aus; im Ruhesystem von A und B würde ich nur durch Aberration
d(1 + β) = 9,6 Lichttage
erwarten, in meinem eigenen würde ich hingegen durch den Retardierungseffekt
d/(1 − β) = 15 Lichttage.
Ich gebe zu, dass ich keinen Unterschied gemacht habe, zwischen dem, was man sieht, und dem, was ist. In diesem Punkt ist deine Antwort also korrekter.
Wenn man aber davon redet, was man sieht, muss man sich auch fragen: Woran sieht der Reisende überhaupt, wie weit A von B entfernt ist? - Wenn ein Massstab von 1m Länge weit entfernt ist, sehen wir ihn unter einem kleinen Winkel. Wenn er nahe ist, sehen wir ihn unter einem grossen Winkel. Falls der Abstand so bestimmt wird, lautet die Frage: Wie verändert sich der Winkel, unter dem ein Massstab gesehen wird?
Die Antwort auf diese Frage hängt davon ab, ob der Reisende beim Start der Reise zum Ziel schaut oder ob er am Ziel noch bei voller Geschwindigkeit zurück schaut. Denn beim Vorwärts-Schauen ist der Blickwinkel durch die Aberration vergrössert, während er beim Zurück-Schauen verkleinert ist. Wenn er am Start mit hoher Geschwindigkeit v losfährt und den Massstab im Ziel anschaut, scheint ihm der Weg also verkürzt. Wenn er aber kurz vor dem Ziel zurück schaut, scheint ihm der Weg länger. Wenn er auf seinem Weg die noch verbleibende Strecke und die schon zurückgelegte abschätzt und addiert, kriegt er ein Resultat dazwischen.
Bei anderen Arten der Längenbestimmung durch das Sehen noch auf auf andere Resultate kommt. So könnte man etwa an einem weit entfernten Spiegel vorbei fahren und in diesem gleichzeitig den Start und das Ziel sehen.
Woran sieht der Reisende überhaupt, wie weit A von B entfernt ist?
Du hast es beschrieben. Neben der scheinbaren Größe eines Körpers lässt sich dafür auch die Parallaxe verwenden, indem man etwas mit zwei weit genug entfernten Kameras beobachtet.
Man kann auch die Zeit zwischen Absendung eines Signals und Empfang des Echos messen und daraus die Entfernung ermitteln.
Denn beim Vorwärts-Schauen ist der Blickwinkel durch die Aberration vergrössert, während er beim Zurück-Schauen verkleinert ist.
Umgekehrt. Das Licht scheint ja mehr von vorn zu kommen. Das muss auch so sein, da sich die Aberration eben auch als Retardierungseffekt interpretieren lassen muss: Wenn ich mich als ruhend betrachte, entfernt sich ja A mit cβ von mir, und B kommt näher.
Deshalb sieht dann A zu jedem Zeitpunkt um den Faktor 1/(1 + β) näher und B um den Faktor 1/(1 − β) weit er weg als der jeweilige Körper aktuell sein muss.
Es wird oft gesagt, der Raumfahrer habe aus seiner Sicht statt d nur eine verkürzte Strecke d' = γ⁻¹d von A nach B zu fliegen.
Das ist komplett falsch. Mit "aus eigener Sicht" ist üblicherweise gemeint, dass der Raumfahrer als stationär betrachtet wird, d.h. der Raumfahrer fliegt gar nicht. Vielmehr bewegt sich das Ziel in dieser Interpretation mit v = c∙β auf ihn zu und ist um den Faktor 1 − β näher als es für den Raumfahrer aussieht.
Kommt der gerade bei A vorbei, sieht er B in der Entfernung
K∙d = d√{(1 + β)/(1 − β)},
und das ist eben auch
d√{1 − β²}/(1 − β) = d'/(1 − β).
Er schließt daraus, dass B inzwischen nur noch die Entfernung d' hat.
Nun kann sich der Raumfahrer als ruhend betrachten, muss es aber nicht. Kein Mensch, der auf der Erde in einem Fahrzeug von A nach B fährt, sagt "B kommt auf mich zu". Jeder benutzt die Erde als Bezugskörper.
Auch der Raumfahrer wird vermutlich eher das gemeinsame quasi- Ruhesystem von A und B (in dem sich A und B sehr langsam bewegen, verglichen mit c) benutzen. Dann muss er annehmen, dass die Strecke durch Aberration um den Faktor 1 + β verlängert scheint und rechnet
K = d(1 + β)/√{1 − β²} = γ∙d(1 + β).
Also: In Wirklichkeit ist die Entfernung für ihn sogar γd, was er darauf zurückführen kann, dass seine Maßstäbe in Bewegungsrichtung um den Faktor γ⁻¹ verkürzt sind (macht Sinn, er bewegt sich ja).
das wird schwer zu rechnen ... auf jedenfall nicht 0,998 eines Lichtjahres
Grund: bei nahe Lichtgeschwindigkeit kommen relativistische Effekte ganz deutlich zum Zug und lassen die Zeit auf der Erde quasi betrachtet für die Raumschiffbesatzung schneller vergehen. Würden die Leute auf dem Raumschiff die Entfernung messen kriegen sie 0,998 * Lichtjahr raus. Würden aber wie es ja mit "Erdzeit" gedacht ist die Leute auf der Erde die Entfernung messen. Sind sie weit weniger als 0,998 Lichtjahre weg.
Das hört sich Banane an und mich wundert es warum das damal dem Einstein der es ja nur theoretisch vorgestellt hat so geglaubt wurde (bevor man mit Mesonen oder so das experimentell bestätigt hat).
Keine Ahnung wie ich das rechne. Wenn ich jetzt die Geschwindigkeit der Erde nehme, die sich um die Sonne dreht also v = 30 km/s und dann Beta ausrechne, dann habe ich Beta = 0,0001c
Wenn ich das in die Formel für Gamma einsetze, kommt 1 raus.
Also Gamma = 1
Also ist die Zeit auf der Erde um den Faktor 1 langsamer. Jetzt ist die Frage wie ich weiter rechne.
sag einfach du hast verstanden die Raumschiffbesatzung misst die Entfernung nach einem Jahr der vorher geeichten Uhr (die aber nicht nachgestellt wird wenn nun die Erde schneller um die Sonne saust vom Raumschiff betrachtet).
also dann 0,998 Lichtjahre .... wieviele km nun Lichtjahr ist kann man nachlesen ;-)
ansonsten muss der Lehrer deutlich sagen er will dass die Erdleute die Entfernung messen.
Ein Jahr ist der Umlauf der Erde um die Sonne. Wenn man das nimmt, dann ist es diese kürzere Entfernung die schlecht zu berechnen ist.
Aber normal läuft das ja so. Ein Astronaut hat vorher auf der Erde seine Uhr auf die Geschwindigkeit geeicht die man eben üblich für 1 Jahr nimmt auf der Erde. Und dann auf dem Raumschiff während der Reise wird er die Uhr nicht verstellen. Und erst wenn die Uhr mit Datumsanzeige eben dann sein Jahr mehr anzeigt dies als "1 Jahr vergangen" verzeichnen.
Ich bin mir sicher, dass die Erdleute die Zeit messen, weil direkt in der darauf folgenden Aufgabe, die Messung der Zeit der Besatzung bzw des Astronauten folgt.
Ja. Vergiss das mit der Sonne! Ein Jahr ist einfach eine Zeiteinheit.
Habe jetzt einfach keine Ahnung wie ich zu rechnen habe
Ich weiß ja nichtmal in welcher Einheit ich das angeben soll. In km? Keine Ahnung. Wenn ja dann wären es halt 9,44108 billionen km
9,66 billionen km ist ja bei 1 Lichtjahr
und
bei 0,998c sind es 9,44108 km
Genau. Einheit ist egal, ich würde ja Lichtjahre nehmen. Sonst Meter.
Aber mein Lehrer meinte die c) (also diese Aufgabe) ist etwas schwieriger. Das was ich habe ist einfach zu einfach
Ja sonst wären es 0,998 Lichtjahre. Ja super. Denke nicht, dass das meinen Lehrer zufrieden stellen würde
ich glaube die Formel ist
a0 = a1 * 1 / wurzel(1 - 0.998²)
a0 = a1 * 15,8193
also: statt 0,998 Lj ist es 0,998 / 15,8913 = 0,0628 Lj
Es geht nicht darum, ob Dein Lehrer zufrieden ist. Es geht um das richtige Ergebnis.
nimm meine Rechnng: wenn du willst kannst du 0,0628 Lj noch in km umrechnen.
Die Formel besagt also dass die Erde vom Raumschiff aus betrachtet fast 16 mal so schnell um die Sonne saust wie sonst.
ahhh. Ich hatte auch die Formel Gamma=(1-Beta^2)^-0.5
bzw
Gamma= 1/Wurzel aus 1-Beta^2
Dann kam 15.82 raus. Das habe ich Idiot die ganze Zeit mit 0,998 multipliziert statt es zu dividieren. Danke
Aber es geht doch um die Strecke des Raumschiffs. Von der Erde aus kann also unmöglich weniger Zeit vergehen. Das macht keinen Sinn
wenn weniger Zeit vergeht ist auch weniger Strecke zurückgelegt. Also die Leute auf dem Raumschiff werden sich wundern warum die Erde schon nach 1/16-tel eines Jahres behaupten sie sind 1 Jahr unterwegs ... aber so wird es sein.
allerdings werden sie sich eh nicht mit den Erdleuten unterhalten können, weil die Funkstrahlen zu lange brauchen und wenn sie dann endlich ankommen als sehr sehr hohe schnelle pieptöne. Umgekehrt hört die erde nur ganz langsame brummtöne als antwort.
Ein Problem gibts noch: Um so ein Gewicht wie das Raumschiff mit den Leuten auf 0,998 c zu beschleunigen, braucht man erstmal ewig lange und ewig viel Energie. Die Rechnung stimmt also hinten und vorne nicht, da die Rechnung davon ausgeht, dass das Raumschiff in vernachlässigbarer Zeit auf 0,998c kommt. Geht allein schon deswegen nicht weil dann die G-Kräfte so groß würden dass die Menschen tot sind. Die halten ja nur max 9G aus.
Du müsstest also noch komplizierter Rechnen und erstmal fragen wieviel G dürfen die Astonauten max. für fast ein Jahr ausgesetzt sein. Ich denke mehr als 2G kaum. Und dann damit neu rechnen.
Auf der Erde vergeht doch mehr Zeit, da sich die Erde ja langsamer bewegt als das Raumschiff
Das ist eine Schulaufgabe .Ich weiß warum das nicht möglich wäre.
die Erde kannst du bei dieser Raumschiffgeschwindigkeit als 0-Geschwindigkeit Bezug betrachten. Da wie erst eben besprochen die Zeit auf der Erde gemessen wird, ist dann das Raumschiff nicht soweit weg wie es eigentlich sein müsste ... eben nur 1/16 tel soweit
also mal so als anhaltspunkt ... mit 2G würden die in einem Jahr noch nichtmal auf der Sollgeschwindigkeit 0,998c sein.
das wird schwer zu rechnen ...
Nö. So schwer ist SRT nicht.
... auf jedenfall nicht 0,998 eines Lichtjahres
Doch. Es sei denn, "Erdzeit" wäre ein Schreibfehler.
Dabei darf man auch nicht vergessen, dass sich ja auch die Erde und das Sonnensystem mit relativ hoher Geschwindigkeit bewegt, wenn man wirklich eine genaue Zahl haben möchte
Habe ich schon ausgerechnet.
Am Ende kommt raus, dass die Zeit auf der Erde um den Faktor 1 langsamer vergeht als in einem ruhenden System
Es ist natürlich nicht 1, der TR ist nur recht ungenau. Für β << 1 kannst Du die Näherungen
(1.1) 1/(1 − x) ≈ 1 + x
(1.2) √{1 ± x} ≈ 1 ± ½∙x
kombinieren zu
(2) 1/√{1 − β²} ≈ 1 + ½∙β²,
was bei der Erde im Ruhesystem der Sonne 1 + 5×10⁻⁹ ergibt.
Übrigens kommt von der Näherung (2) auch die Formel für die kinetische Energie.
Nein. Die Erde wird als ein Inertialsystem genommen, das Raumschiff als das Andere. Es gibt keinen absoluten Raum.
Mit "ruhendem System" ist wohl das Ruhesystem der Sonne gemeint, in dem sich die Erde mit 10⁻⁴c bewegt.
0,998 Teile eines Lichtjahres.
Ich weiß nicht ob das so richtig ist. Man muss aufjedenfall rechnen in der Aufgabe
Nun ja, es fehlt die Angabe des Bezugssystems. „Erdzeit“ deutet auf die Erde als Bezugssystem hin. Sonst würde es ja „Raumschiffzeit“ heissen.
Nachdenken, was man rechnet, ist meistens die beste Strategie.
Habe ich schon.
,, Keine Ahnung wie ich das rechne. Wenn ich jetzt die Geschwindigkeit der Erde nehme, die sich um die Sonne dreht also v = 30 km/s und dann Beta ausrechne, dann habe ich Beta = 0,0001
Wenn ich das in die Formel für Gamma einsetze, kommt 1 raus.
Also Gamma = 1
Also ist die Zeit auf der Erde um den Faktor 1 langsamer. Jetzt ist die Frage wie ich weiter rechne."
OK. Schau mal hier dieses Beispiel an. Eine Jeans kostet 80 Euro. Jetzt wird sie um den Faktor 1,15 teurer.
https://www.mathe-lexikon.at/arithmetik/prozentrechnung/berechnungen/aenderungsfaktor-erhoehung.html
Ja, sehe ich auch so wie segler1968. Ich grüble auch, ob das wirklich so sein kann, aber doch: 0.998 LJ
Was ist die 2x10^-3?