Parameter Funktion- So bestimmen, so dass es symmetrisch ist?
Hallo.
Mein Lehrer hat es leider sehr schlecht erklärt... wir werden einen Test schreiben und es wird diese Art von Aufgabe drankommen:
Ich werde eine Paramter bzw. eine Scharfunktion bekommen z.B: f(x)= ax^2 + 2x^2 - 3
Und ich sollte a beispielsweise so bestimmen, so dass diese Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist.
Nun ich bräuchte einen Musterweg, so dass ich weiß, wie ich es rechnerisch machen kann. Und eine Seite zum üben bei sowas wäre auch klasse.
Ignoriert die oberige Funktion; Das war ein Beispiel dafür, was ich mit Scharfunktionen meine.
Danke im voraus :)
4 Antworten
Am Grad der Funktion siehst Du ja, ob sie überhaupt achsen- oder punktsymetrisch sein kann.
Dann stellst Du die entsprechende Gleichung auf und schaust, was rauskommen muss, damit die entsprechende Symmetrie vorliegt. (Der Parameter kann nicht aus einer achsensymmetrischen eine punktsymmetrische Funktion machen).
Ist der höchste Exponent gerade, dann kann die Funktion nur achsensymmetrisch sein; bei ungeradem Exponenten punktsymmetrisch.
Einfaches Beispiel: fa(x)=2x²+(a-1)x+3
Diese Funktion kann nur achsensymmetrisch (zur y-Achse)sein, und das ist sie, wenn gilt:
f(-x)=f(x)
D. h. Du setzt für x jetzt -x ein und rechnest so aus, was rauskommen müsste, damit die Funktion achsensymmetrisch ist:
f(-x)=2(-x)²+(a-1)(-x)+3=2x²-(a-1)x+3
Das muss nun fa(x) sein, damit die Funktion tatsächlich achsensymmetrisch (zur y-Achse) ist.
Also:
2x²-(a-1)x+3=2x²+(a-1)x+3 |-2x² |-3
-(a-1)x=(a-1)x |+(a-1)x
0=2(a-1)x |:2x und x<>0
a-1=0 |+1
a=1
Die Beispielfunktion ist also nur achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn a=1 ist (ansonsten ist sie nach links oder rechts verschoben).
achsensymmetrisch: f(x)=f(-x)
punktsymmetrisch zum Ursprung: f(-x)=-f(x)
f(x)= ax^2 + 2x^2 - 3
f(-x)= ax^2 + 2x^2 - 3
-f(x)=-ax^2-2x^2+3
achsensymmetrie:
ax^2 + 2x^2 - 3=ax^2 + 2x^2 - 3
offensichtlicherweise für alle a wahr.
punktsymmetrisch zum Ursprung:
f(-x)=-f(x)
ax^2 + 2x^2 - 3=-ax^2-2x^2+3
es sind alle a zu bestimmen für die die gleichung erfüllt ist.
(a+2)x^2 - 3=(-a-2)x^2+3
gibt es höchstwahrscheinlich kein passendes x, selbst für a=0 wird die gleichung nicht erfüllt.
da -3 und +3 unabhängig von a sind, wird das niemals gleich sein.
ansonsten müsste auch
a+2=-a-2
2a+4=0
2a=-4
a=-2
selbst wenn wir a=-2 einsetzen, wäre dann
-3=+3
das wird niemals erfüllt.
ergo gibt es kein a, für das punktsymmetrie gegeben ist.
In der Schule wird nur geprüft, ob Symmetrie zur y-Achse oder Punktsymmetrie zum Ursprung herrscht.
Es gibt ein paar Sondermöglichkeiten (nur ungerade Exponenten oder so etwas, die man aber nicht immer zur Hand hat).
Am besten fährt man, wenn man es schnell formal bestimmt, und zwar meist beides. Man fängt mit der Achsensymmetrie an, und dann Punktsymmetrie, weil die Reihenfolge in diesem Fall wichtig ist. Hat man Achsensysmmetrie gefunden, kann man natürlich aufhören. Meist stellt man fest, dass beides nicht vorliegt.
Achsensymmetrie: ersetze jedes x durch (-x) und prüfe, ob dieselbe Funktion herauskommt.
Punktsymmetrie: schreib vor das Ergebnis der Achsensysmmetrie ein Minus und klammere die Funktion ein. Prüfe sodann, ob dieselbe Funktion herauskoimmt.
Beispiel: f(x) = x⁷ - x³ + x
Achsensymmetrie: Bedingung f(x) = f(-x)
f(-x) = (-x)⁷ - (-x)³ + (-x) - 1 = -x⁷ + x³ - x ≠ f(x) => nicht achsensymmetrisch
Punktsymmetrie: Bedingung f(x) = -f(-x)
Ich verwende das Ergebnis von eben.
-(f(-x)) = -(-x⁷ + x³ - x) = x⁷ - x³ + x = f(x) => punktsymmetrisch
Bitte schreib doch wenigstens die Aufgabe richtig hin.
ax^2 + 2x^2 - 3 kann nicht punktsymmetrisch sein, eines von den beiden "^2" stimmt nicht.
Ist erledigt. Geht immer noch nicht. Vorausgesetzt, a ist eine Zahl und nicht zum Beispiel x.
Lies doch mal meinen Text richtig durch.