p+2 und p+4 sind Primzahlen?
Hallo, ich sollte beantworten und begründen, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist.
”Es existiert genau eine Primzahl mit folgender Eigenschaft: p + 2 ist prim und p + 4 ist prim.”
Für mich gäbe es nur eine, p = 3.
Also wahr.
Jedoch kann man ja über die Verteilung der Primzahlen generell nichts sagen.
Könnte diese Aussage also falsch sein?
4 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
Betrachte den Rest bei Division durch 3...
1. Fall: p hat Rest 0 bei Division durch 3. [Also: p ≡ 0 (mod 3)]
Dann ist p durch 3 teilbar. Da p außerdem eine Primzahl sein soll, folgt damit p = 3.
p = 3 und p + 2 = 5 und p + 4 = 7 sind Primzahlen, so dass p = 3 (als einzige Zahl in diesem Fall) die geforderten Eigenschaften hat.
2. Fall: p hat Rest 1 bei Division durch 3. [Also: p ≡ 1 (mod 3)]
p + 2 ≡ 1 + 2 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3)
Dann hat p + 2 Rest 0 bei Division durch 3. Also ist p + 2 dann durch 3 teilbar. Da p + 2 außerdem eine Primzahl sein soll, folgt p + 2 = 3, und damit dann p = 1.
Da 1 jedoch keine Primzahl ist, gibt es in diesem Fall keine entsprechende Primzahl p mit den geforderten Eigenschaften.
3. Fall: p hat Rest 2 bei Division durch 3. [Also: p ≡ 2 (mod 3)]
p + 4 ≡ 2 + 4 ≡ 6 ≡ 0 (mod 3)
Dann hat p + 4 Rest 0 bei Division durch 3. Also ist p + 4 dann durch 3 teilbar. Da p + 4 außerdem eine Primzahl sein soll, folgt p + 4 = 3, und damit dann p + 2 = 1.
Da p + 2 = 1 dann jedoch keine Primzahl ist, gibt es in diesem Fall keine entsprechende Primzahl p mit den geforderten Eigenschaften.
[Ende der Fallunterscheidung]
Ergebnis:
p = 3 ist die einzige Primzahl mit den geforderten Eigenschaften. Die zu überprüfende Aussage ist wahr.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/LizenzfireArtZ/1687808459118_nmmslarge__0_0_512_512_d0d8c4156c0806032a429d80fed1cb83.webp?v=1687808459000)
Aussage: p ist prim, p+2 und p+4 sind ebenfalls prim.
Die 3 ist die einzige Zahl auf die das zutrifft, da IMMER entweder p, p+2 oder p+4 durch 3 teilbar sind. LG
![](https://images.gutefrage.net/media/user/LizenzfireArtZ/1687808459118_nmmslarge__0_0_512_512_d0d8c4156c0806032a429d80fed1cb83.webp?v=1687808459000)
Entweder p oder p+1 oder p+2 (p element der natürlichen Zahlen) ist durch 3 teilbar. Ist logisch oder? 3 hat entweder den rest null, eins oder zwei. Wenn der Rest null ist, dann ist 3 ein teiler der Zahl. LG
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ich denke, Regina hat oben bei der Nachfrage die Antwort geliefert. Da es noch eine Primzahl mit der Eigenschaft gibt, ist die Aussage widerlegt und stimmt daher nicht.
Korrektur: 1 ist natürlich gar keine Primzahl, deswegen ist die Aussage noch nicht widerlegt.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/RonaId/1611254037495_nmmslarge__0_0_500_500_77a0f43d5804c908f40c8a1b0c260400.jpg?v=1611254038000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/AllesIsi98/1618146909516_nmmslarge__0_0_2833_2833_bbb1c55e8f1e8091204c85f941588baf.jpg?v=1618146910000)
Aber ... 1 ist doch keine Primzahl?
Eine Primzahl hat immer genau 2 Teiler, 1 und sich selbst, bei 1 fallen diese beiden zusammen, 1 hat also nur einen Teiler und ist demnach keine Primzahl.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/LizenzfireArtZ/1687808459118_nmmslarge__0_0_512_512_d0d8c4156c0806032a429d80fed1cb83.webp?v=1687808459000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ulrich1919/1625344747280_nmmslarge__0_0_703_704_0d2a90a03a556eaf2742fabe43756723.jpg?v=1625344747000)
Diese Eigenschaft ist nur erfüllt, wenn DREI aufeinanderfolgenden Primzahlen jeweils mit Differenz 2 gefunden werden. In der Primzahlen-Tabelle ist ersichtlich, dass es oft Doubletten gibt (2 aufeinderfolgenden Primzahlen) aber --mit Ausnahme der ersten Dekade-- nie 3. Das ist natürlich kein logischer Beweis, aber ein starker Hinweis.
Warum muss eine davon immer durch 3 teilbar sein?
Weil eine von p, p+1, p+2 durch 3 teilbar sein muss.
Und weil eine von p+2, p+3, p+4 durch 3 teilbar sein muss.
oder?