Stimmt folgende Aussage: "Immer wenn bei einem Bruch eine Primzahl im Nenner steht, ist der zugehöhrige Dezimalbruch periodisch." (siehe Beschreibung!)?
Falls die Aussage falsch ist: Wie lautet die Warheit?
6 Antworten
Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: 1/2 = 0.5, direkt die erste Primzahl ist ein Gegenbeispiel.
Man bemerke, dass 10 = 2 * 5, deshalb ist der Bruch genau dann periodisch, wenn der Nenner (nach Kürzung) Primfaktoren enthält, die nicht 2 oder 5 sind. Äquivalent: Die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl ist genau dann abbrechend, wenn der Nenner nach Kürzung nur durch 2 oder 5 teilbar ist.
Das zu beweisen geht einfach:
Hin-Richtung:
Sei ein Bruch 0 < a/b < 1 gegeben [ansonsten skalieren wir runter, und es macht den Beweis einfacher], wobei b = 2^k 5^l. Sei weiterhin o.B.d.A k > l [da wir sonst das ganze Verfahren machen, nur dass wir 2 und 5 vertauschen].
Wir erweitern jetzt den Bruch mit 5^(k-l) und haben also a/b = 5^(k-l)a/10^k.
Diese Zahl ist offensichtlich nicht periodisch, da die Zahl die Form 0."5^(k-l)a" ist, wobei "5^(k-l)a" die Zahl in Dezimaldarstellung ist und damit abbrechend.
Rück-Richtung: Sei eine rationale Zahl 0 < a/b < 1 gegeben, wobei a/b in Dezimaldarstellung abbricht, also a/b = "0.a1a2a3...ak00000".
Wir bekommen jetzt also a/b = "a1a2...ak"/10^k, wobei "a1a2...ak" die natürliche Zahl zusammengesetzt aus den Ziffern von a/b ist.
Wenn wir den Bruch vollständig kürzen [beide Seiten durch den ggt("a1a2...ak",10^k) teilen], dann ist der Nenner ein Teiler von 10^k = 2^k 5^k, durch den Fundamentalsatz der Arithmetik also ein Teiler von 2 oder 5 und keinen anderen Primzahlen.
Was noch als letztes zu zeigen ist, ist die [nicht ganz untriviale] Annahme, dass ein Dezimalbruch genau dann rational ist, wenn er periodisch ist oder abbrechend. Das überlasse ich dir als Übung. Tip: Eine Periode lässt sich darstellen als Bruch a/b, mit b = (10^k) -1 wobei k die Länge der Periode ist, und a die natürliche Zahl ist, die mit der Periode übereinstimmt.
LG
Die Lösung wurde schon mehrfach genannt, die Aussage ist falsch, komplett müsste sie so lauten.
Wenn bei einem gekürzten Bruch a / b im Nenner b in der Primfaktorzerlegung nur die Primfaktoren 2 und 5 vorkommen, ist er periodisch, kommt keine 2 und keine 5 vor, ist er reinperiodisch, und wenn (2en ODER 5en) UND andere Primfaktoren vorkommen, ist er gemischtperiodisch.
Findet man alles ganz genau beschrieben unter
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/periodenlaenge.htm
incl. online Berechner!
Es bringt nichts, wenn man nur Teile davon hier herkopieren würde.
Zwei ist eine Primzahl, fünf ist eine Primzahl.
1/2 = 0,5
1/5 = 0,2
Ich sehe da keinen periodischen Dezimalbruch. Oder wenn im Zähler dieselbe Primzahl wie im Nenner steht, dann gibt der Bruch immer 1 - die Aussage stimmt so nicht.
Periodisch im weiteren Sinne (einschließlich Periode 0) oder im engeren Sinne (Periode 0 ausgeschlossen)?
Was ist die Primzahlzerlegung von 10? Was passiert, wenn eine dieser Primzahlen im Nenner steht?
Ehm.... Ich möchte nur wissen, ob diese Aussage richtig ist....