optimierungsproblem: gib die abmessungen des behälters an & max. volumen?
hi, ich hoffe ich werde so schnell wie möglich einen mathe experten mit meiner frage erreichen, da ich morgen meine mathe nachprüfung schreiben werde und nach zahlreichen videos das thema immernoch nicht verstehe.
aufgabe:
ein Gartenfreund besitzt einen 4 m langen Wellenblechstreifen von 1 m Höhe. Diesen möchte er zum Bau eines dreikammerigen Abfallbehälters verwenden. Eine Seite des Behälters wird durch die Gartenmauer begrenzt.
bestimme die Abmessungen für die der Behälter möglichst viel fassen kann. Gib an wie groß das maximale Volumen ist.
3 Antworten
Da müssen wir uns erstmal vor unserem geistigen Auge vorstellen, wie er da praktisch vorgehen kann. Dazu hat er zwei Möglichkeiten:
1) Er schneidet von den 4 m Länge zwei Stücke mit der Breite y ab und benutzt die als Mittelteil. Der Behälter hat dann auf jeden Fall eine Höhe von 1 m.
Da die Höhe vorgegeben ist, haben wir dann das maximale Volumen, wenn die Grundfläche maximal ist.
Die Grundfläche A berechnet sich zu:
A = y * x
Als Nebenbedingung haben wir:
4y + x = 4 (das ist die Länge des Bleches in Meter)
Das lösen wir nach y auf, um es in A einsetzen zu können, denn am Ende wolllen wir in der Funktionsgleichung nur noch x als Variable haben:
Aus 4y + x = 4 folgt:
4y = 4 - x
y = 1 - x/4
und setzen das in A ein:
A = y * x = (1 - x/4) * x = x - x^2 /4
Nun soll A maximal sein. Also leiten wir ab und setzen die Ableitung zu 0, denn dann erhalten wir das Maximum für A:
A = x - x^2 /4
A' = 1 - 2/4 x = 1 - x/2
A'= 0
1 - x/2 = 0
x/2 = 1
x = 2
Damit können wir y ausrechnen:
y = 1 - x/4 = 1 - 2/4 = 1/2 m = 0,5 m
Lösung: x = 2 m; y = 0,5 m
Nun müssen wir noch das Volumen dazu ausrechnen:
V = A * h = 2 m * 0,5 m * 1 m = 1 m^3
2) Nun gäbe es aber noch eine zweite Möglichkeit, den Abfallbehälter zu bauen:
Der Gärtner trennt das Blech in der Mitte längs durch und erhält so zwei Streifen mit den Abmessungen 4 m x 0,5 m
Einen Streifen teilt er 4 mal, um die 4 Seiten/Mittelwände zu erhalten, die dann jeweils 1 m in der Länge und 0,5 m in der Höhe messen. Der zweite Streifen ergibt dann die Längsseite, also x. Der Gärtner müüsste sich dann lediglich noch überlegen, wie er die Ecken zwischen y und x befestigt. Da könnte er schweißen oder mit Winkeln die Teile zusammenschrauben.
Damit haben wir die Abmessungen:
y = 1 m; x = 4 m; h = 0,5 m
Das ergibt ein Volumen V von:
V = y * x * h = 1 m * 4 m * 0,5 m = 2 m^3
Damit hätte er also sogar das doppelte Volumen erreicht.
Da die Höhe fest ist, musst du zunächst eigentlich nur die Grundfläche beachten: Trotzdem
V = x*y*z (Zielfunktion)
z = 1
Länge des Blechstreifens x + 2y = 4 (Nebenbedingung, siehe Skizze)
also x = 4 -2 y
V(y) = (4-2y)*y*1 = 4y-2y²
Dasvon wie üblich das Maximum suchen.
Stimmt, das hatte ich mübersehen! Die anderen haben da besser aufgepasst!
Länge des Blechstreifens x + 2y = 4 (Nebenbedingung, siehe Skizze)
Da fehlen die beiden Mitttelteile, damit es drei Kammern gibt.
Da die Höhe fest ist,
Nicht unbedingt....
Nebenbedingung
x + 4·y = 4 --> x = 4 - 4·y
Hauptbedingung
A = x·y = (4 - 4·y)·y = 4·y - 4·y²
Eine nach unten geöffnete Parabel hat ein Maximum. Das müssen wir jetzt nur noch mit der Scheitelpunktform bestimmen.
A = 4·y - 4·y² = - 4·(y - 0.5)² + 1
--> yS=0,5
Damit noch xS ausrechnen
xS = 4 - 4·yS = 4 - 4·0.5 = 2
V=2•0,5•1=1
Das verstehe ich leider nicht. Bei drei Kammern? Also 4 mal y?