Nullstellen bei Funktionsscharen bestimmen?
Hallo,
Könnte mir vielleicht jemand bei der Nullstellenbestimmung von x ^3 +kx+2kx helfen?
Vielen Dank im Voraus
Die erste nst ist auf jeden Fall 0 aber die zweite kann nicht 2k-k sein und mit der PQ Formel komm ich beim Zusammenfassen nicht weiter...
2 Antworten
mit der PQ Formel komm ich beim Zusammenfassen nicht weiter...
Das wäre aber der richtige Weg. In Deiner Rechnung hast Du sie nicht benutzt. Nutze sie!
f(x) = x ^ 3 + k * x ^ 2 + 2 * k * x
x ^ 3 + k * x ^ 2 + 2 * k * x = 0
Ein x ausklammern :
x * (x ^ 2 + k * x + 2 * k) = 0
Wegen dem Satz vom Nullprodukt ist die erste Nullstelle Null, weil du ein x ausklammern konntest, weil "Null mal Irgendwas gleich Null ist" :
https://www.youtube.com/results?search_query=Satz+vom+Nullprodukt
x_1 = 0
Mit dem in der Klammer verbliebenen Rest bestimmst du die restlichen Nullstellen.
x ^ 2 + k * x + 2 * k = 0
pq-Formel anwenden :
p = k
q = 2 * k
p / 2 = k / 2
(p / 2) ^ 2 = (k ^ 2 )/ (2 ^ 2) = (1 / 4) * k ^ 2
x_2,3 = - (k / 2) ± √((1 / 4) * k ^ 2 - 2 * k)
x_2 = - (k / 2) + √((1 / 4) * k ^ 2 - 2 * k)
x_3 = - (k / 2) - √((1 / 4) * k ^ 2 - 2 * k)
Gerne, aber könnten Sie mir dann vielleicht noch einen Ansatz geben? Sowas haben wir bisher noch nicht gemacht.
Der Wert unter der Wurzel ((1 / 4) * k ^ 2 - 2 * k) darf nicht negativ werden. Bei 0 wäre die Wurzel 0 und es gäbe eine weitere Nullstelle, bei Werten größer 0 zwei.
Mit 4 multiplizieren, um den Bruch loszuwerden:
k ^ 2 - 8 * k = k(k-8) soll größer oder gleich null sein
Jetzt schauen wir uns diesen Term als Graph an (nicht verwechsel mit der Ausgangsfunktion). Es ist eine oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen 0 und 8. Zwischen 0 und 8 darf k also nicht liegen, wenn es weitere Nullstellen geben soll. Für k = 0 ist f(x) = x³ und hat somit die (schon bekannte aber so dreifache) Nullstelle 0.
Für k = 8 gibt es die weitere (doppelte) Nullstelle -8/2 = -4.
Zwei weitere Nullstellen gibt es also für k<0 oder k>8.
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.
Super, sehr ausfürlich gemacht! der Fragesteller könnte jetzt noch ergänzend untersuchen, für welche k zwei weitere Nullstellen existieren.