Nullstelle bestimmen bei einer trigonometrischen Funktion?
Hey, ich bräuchte Hilfe bei der Nullstellenbestimmung folgender Funktion
-2sin(x)cos(x)=0
Man kann beide Seiten durch - 2 teilen
sin(x) cos(x) = 0
Da ein Produkt 0 wird wenn einer seiner Faktoren 0 wird unterteilt man in 2 Fälle
cos(x) = 0
sin(x) = 0
Nun löst man beide Gleichungen
bei der oberen kommt: x= pi/2 + k*pi
Bei der unteren kommt: x= pi*k
Bis jetzt keine Probleme aber wie geht es nun weiter? Im Internet fand ich bei einem Rechner diese Hilfe:
Was genau ist die Vereinigung und wie bestimme ich sie(wird leider nicht genauer beim rechner angezeigt)
Ich bedanke mich für jede Hilfe!
3 Antworten
Die Vereinigung ist der Versuch, die beiden getrennten Lösungen, die du gefunden hast, durch einen einzigen Ausdruck darzustellen.
Du hast ja:
- x1 = π/2 + kπ (das ergibt π/2, 3π/2, 5π/2, …)
- x2 = kπ (das ergibt π, 2π, 3π, …)
Zusammen kannst du das auch als x = kπ/2 schreiben (π/2, π, 3π/2, 2π, …).
Betrachte folgendes:
sowie:
Du hast also oben alle ungeraden Zahlen, unten alle geraden Zahlen
Die Vereinigung ist demnach alle k also pi*k / 2
Klammere bei der 1. Lösung pi aus, ergibt: (k+1/2)pi
somit gehören folgende Vielfachen von pi zur 1. Lösung (ich notiere mal nur die ab k=0): 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, ...
bei der 2. Lösung hast Du die Vielfachen: 0, 1, 2, 3, 4 = 0/2, 2/2, 4/2, 6/2, 8/2, ...
beide Lösungen "sortiert": 0/2, 1/2, 2/2, 3/2, ...
also im Zähler tauchen alle ganzen Zahlen auf, somit: k/2 * pi