Nicht zyklische Untergruppe der Ordnung 4?
Ich habe eine Frage zur b)
G hat Ordnung 8 -> UG muss Ordnung 1,2,4 oder 8 (Lagrange)
<A>, <B>, <C> sind 3 verschiedene UG der Ordnung 4 (A^4 = 1 und A² ungleich 1)
Nun kommt meine Frage:
Im nächsten Schritt will man ausschliessen, dass es eine weitere UG der Ordnung 4 gibt. Diese müsste nicht-zyklisch sein.
Die Lösung behauptet dann, dass die UG aus 3 verschiedenen Elementen der Ordnung 2 bestehen müsste.
Wie kommt man auf diese Schlussfolgerung?
Könnte die UG nicht auch z.B. 1 Element der Ord.2 und eines der Ord.4 bestehen? Wäre die dann zyklisch oder wieso kann dies ausgeschlossen werden?
1 Antwort
Könnte die UG nicht auch z.B. 1 Element der Ord.2 und eines der Ord.4 bestehen? Wäre die dann zyklisch oder wieso kann dies ausgeschlossen werden
Nein, denn wenn a^2=e und b^4=e, dann ist entweder a=b^2 (und die Gruppe damit zyklisch) oder die Untergruppe hat mindestens 5 Elemente: e,a,b,b^2,b^3.
In deinem Beispiel hat G nur Elemente der Ordnung 1,2 und 4. Da die neue Untergruppe der Ordnung 4 nicht mehr zyklisch sein kann, enthält sie neben E noch 3 weitere Elemente mit Ordnung kleiner als 4. Dann bleibt aber nur noch die Ordnung 2 übrig.
Warum gibt es neben den angebenen 3 UG keine weitere zyklische der Ordnung 4 mehr? Die einzigen Elemente dieser Ordnung sind +-A,+-B,+-C und +- erzeugen die selbe Untergruppe.
