Nicht als Bruch darstellbar?
Wie kann ich erkennen das eine Zahl nicht als Bruch darstellbar ist?
3 Antworten
Lese mal nach bei http://de.wikipedia.org/wiki/Irrationale_Zahl
Es ist nicht mal bewiesen, dass die Zahlen
Pi + e
Pi-e
Pi * e
(ich kenne zig... !!)
irrational sind!!!
Es gibt Zahlen, die stimmen mit Pi auf über 18000 Stellen überein!!
"Erkennen" geht nicht, sondern es geht nur über den Beweis der Irrationalität!
Es liegt in keiner Vorstellungskraft , wie groß Nenner und Zähler werden können!!!
Anders ist es leichter: jede Wurzel einer Primzahl ist immer irrational.
Noch ein schönes Beispiel, dass man es einer Zahl nicht einfach ansieht:
Der Bruch (1+9^(–4^(42)))^3^2^85
stimmt mit der irrationalen Zahl e mit unvorstellbaren
18457734525360901453873569 Stellen
überein!!! (zum Vergleich: Zahl der Atome im Weltall hat nur etwa 80 Stellen!)
Es gibt KEINEN einheitlichen Algorithmus, A(·), der anhand der Beschreibung einer reellen Zahl in endlich vielen Schritten berechnet, ob r ∈ Q. (Andernfalls wäre die Menge reeller Zahlen abzählbar.)
Also kann man hier keinen allgemein gültigen Ansatz geben. Praktisch bei jeder Zahl ist der Beweis jeweils anders.
Nur wenn man z. B. einfach berechnen kann, wie die Dezimalzahlen lauten, kann man leicht überprüfen, ob diese sich irgendwann periodisch wiederholen, und wenn dann ist die Zahl rational, wenn nicht, dann nicht.
Nanu, ich meinte „Dezimalstellen“.
Anmerkung. Um den ersten Teil men den zweiten zu vereinbaren, falls der zweite irgendwie falsche Hoffnung erweist: es gibt auch keinen Algorithmus B(·), der anhand der Eingabe einer reellen Zahl r in endlich vielen Schritten berechnet, ob sich die Dezimalstellen r irgendwann periodisch verhalten oder nicht. Im Allgemeinen (mit W-keit = 1, d. h. für fast jede (aber nicht alle) Zahl) kann sogar keine endliche Beschreibung der Dezimalstellen einer beliebigen Zahl geliefert werden.
Die meisten Zahlen lassen sich leider nicht beschreiben.
Zahlen, die man nicht als Bruch darstellen kann, heißen irrationale Zahlen.
Es ist aber nicht die unendliche Anzahl von Dezimalstellen, die charakteristisch für eine irrationale Zahl ist, sondern die fehlende Periodizität.
Jede periodische Dezimalzahl lässt sich als Bruch darstellen. Dabei können auch Dezimalzahlen wie 0,25 als periodisch angesehen werden, denn diese kann man auch so schreiben: 0,25000000...
Ist eine Dezimalzahl jedoch nicht periodisch, dann kann sie nicht als Bruch dargestellt werden.
Nicht periodisch ist z.B. die Zahl pi = 3,1415926....
Leider kann man an den ersten n Ziffern einer Dezimalzahl nicht unbedingt erkennen, ob sie periodisch, also als Bruch darstellbar, ist oder nicht.
Das kann man nur dann, wenn man eine Periode erkennt - und selbst dann kann man daneben liegen, wie z.B. die Zahl
5,676767676767676798564
zeigt. Schreibt man nur die ersten 16 Nachkommastellen hin, könnte man fälschlicherweise annehmen, die Zahl sei periodisch, was sie aber, wenn man die weiteren Stellen betrachtet, wohl doch nicht ist.
Tatsächlich kann man bei einer gegebenen Zahl nur dann sicher sagen, dass sie rational, also als Bruch darstellbar ist, wenn die Periode explizit angegeben ist bzw. wenn nur endlich viele Nachkommastellen angegeben sind und dazu gesagt wird oder aus sonstigen Gründen klar ist, das im Anschluss daran nur noch Nullen kommen.