Negative Wurzeln multiplizieren?
Darf ich so rechnen:
Wurzel von -9 mal Wurzel von -4
Ich mache beide unter eine wurzel also:
Wurzel von -9 mal -4
Kriege wurzel von 36
Also gleich 6
Ist das richtig oder wie rechnet man die Aufgabe sonst?
5 Antworten
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Nein! Es gibt zwei Möglichkeiten:
- Du kennst keine komplexen Zahlen oder sollst sie nicht verwenden. Dann ist Wurzel(-9) für dich einfach nicht definiert und es gibt nichts auszurechnen.
- Du kannst und darfst komplexe Zahlen verwenden. Aber in den komplexen Zahlen gilt das Wurzelgesetz, das du angewendet hast, nicht.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willy1729/1444750712_nmmslarge.jpg?v=1444750712000)
Hallo,
das darfst Du leider nicht machen, ansonsten könntest Du 'beweisen', daß -4=4 und -9=9, denn
Wurzel (-9)*Wurzel (-4)=Wurzel [(-4)*(-9)]=Wurzel (36)=Wurzel (4*9)=6.
Wenn Du in die komplexen Zahlen gingest, bei denen es möglich ist, Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen, bekämst Du Wurzel (-9)=±3i und Wurzel (-4)=±2i.
Danach wäre zum Beispiel Wurzel (-9)*Wurzel (-4)=3i*2i=3*2*i*i=6*(-1)=-6.
Damit hättest Du auch noch die Identität von -6 und 6.
Du siehst: Dabei kommen nur verrückte Sachen heraus.
Merk Dir einfach: Unter einem Wurzelzeichen hat nichts etwas verloren, das kleiner als 0 ist. Außerdem ist als Wurzel einer positiven Zahl immer nur das positive Ergebnis, nicht das negative definiert.
Taucht unter einem Wurzelzeichen ein negativer Ausdruck auf: Finger weg!
Herzliche Grüße,
Willy
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Im Bereich der komplexen Zahlen ist die Wurzel anders definiert als im Bereich der reellen Zahlen.
In den reellen Zahlen gilt als Wurzel einer positiven Zahl b nur diejenige positive Zahl a, deren Quadrat b ergibt.
Obwohl also auch (-2)²=4, gilt -2 nicht als Wurzel aus 4.
Bei den komplexen Zahlen sieht die Definition so aus:
Unter der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl b versteht man die komplexe Zahl a, deren n-te Potenz b ergibt.
Hier zählen also tatsächlich alle Lösungen für a der Gleichung a^n=b unabhängig davon, ob a oder b ein negatives Vorzeichen haben oder nicht.
Es versteht sich von selbst, daß der Wurzelbegriff in den komplexen Zahlen im Gegensatz zu dem in den reellen Zahlen nicht eindeutig ist.
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Danke, wusste, dass du eine kompetente Antwort hast. Mit komplexen Zahlen kenne ich mich nicht so aus.
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Wegen dieser Uneindeutigkeit darfst Du natürlich nicht komplexe Wurzeln für entsprechende Beweise heranziehen nach dem Motto: Wenn -2i=Wurzel (-4) und 2i=Wurzel (-4), dann -2i=2i und damit nach Kürzen durch 2i: -1=1.
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Wurzel aus -9 ist nicht (in IR) definiert.
Die Umformung ist nur für positiver Radikanden zulässig.
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Sollte richtig sein.
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![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Haben Sie schon einmal den Ausdruck "i" (komplexe Zahl) gesehen?
√-4 × √-9 = ?
Zuerst können wir die Quadratwurzel von -4 als 2 × 2 × -1 und die Quadratwurzel von -9 als 3 × 3 × -1 schreiben
Zweitens ersetzen wir -1 durch i und erhalten 2i × 3i = 6 (i) ²
Da i = √-1 und i² = -1
Wir haben dann 6 × -1 = -6
Daher ist √-4 × √-9 = -6
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Wurzel (-4) ist aber auch -2i. Welches nimmst Du denn nun? 2i oder -2i?
Auch der Ausflug in die komplexen Zahlen macht das Ding nicht zu einer Äquivalenzumformung.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Hier gab es ja schon häufiger die Diskussion, ob z.B. -2 eine Quadratwurzel aus 4 ist (was ja nicht der Fall ist, da Quadratwurzeln grundsätzlich positiv sind) Wie ist das bei komplexen Zahlen, gibt es da zwei Wurzeln?