Muss ein Skalar, das mit einem Vektor multipliziert wird, immer eine Ganzzahl sein?

Nein, du kannst einen Vektor mit allen reellen Zahlen multiplizieren.

Das ist so, als ob du eine Gerade im Raum mit Ausgangspunkt und Vektor angibst und dann sagst, dass du von dem Ausgangspunkt -3,1415926 mal den Vektor weiter gehst, um den gewünschten Punkt zu erreichen.

Auf einer Geraden gibt es ja auch keine Lücken.

Nein, der Skalar muss nicht ganzzahlig sein.

Hier ein Beispiel, das Skalarprodukt der Vektoren

Vektor v (1 1/2 1/3) mit Vektor c (0 1 -1) = 1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6

also nicht ganzzahlig.

nein.
Pi*(e,Wurzel(2),1/3) geht genauso und gibt was grottenhässliches und womöglich periodisches :-)

Nein, es kann ein beliebiger Skalar sein. Gewissermaßen streckt oder staucht ein Skalar nur den Vektor.

Nein aber es muss ein Multiplikationsoperator in dem Vektorraum definiert sein