Trigonometrie in Vektoren ..?
Hi,
kann mir bitte jemand erklären was mir das Skalarprodukt bringt ?
Ich hab jetzt vom Vektor a und b die Beträge ausgerechnet und habe sie dann multipliziert. Anschließend habe ich das Produkt der beiden Beträge nochmal mit Cosinus (φ) multipliziert.
Und dann? Was hab ich jetzt davon?
Also ich hab natürlich um mir das selber besser vorstellen zu können, die Buchstaben mit Zahlen ersetzt. Für a habe ich den „Betrag“ 4 genommen und für b 6 und den Winkel (φ) durch 30° ersetzt
4·6·cos(30°) = 24·0,86... = 20,78
Was sagt mir jetzt diese 20,78 aus ?
3 Antworten
Kann mir bitte jemand erklären was mir das Skalarprodukt bringt?
Eine ganze Menge. Zum Beispiel in der Physik: Bei der Verschiebung eines Körpers der Masse m um
|s› = (x ¦ z) (x horizontal, z vertikal)
gegen die Gewichtskraft
|F.g› = (0 ¦ m·g)
des Körpers wird die Arbeit
W = ‹s|F.g› = 0·x + m·g·z
verrichtet, wobei ich mit ‹s|F.g› das Skalarprodukt meine. Woanders schreibt man auch s·F.g oder s⃑·F⃑.g, aber gerade über dem 'F' ist der Vektorpfeil nicht gut zu erkennen.
Ich hab jetzt von den Vektoren |a› und |b› die Beträge ausgerechnet…
Und wie machst Du das? Auf einer Zeichnung kannst Du die Längen natürlich messen.
Wenn Du die Vektoren dagegen in einem kartesischen Koordinatensystem S in Komponenten angegeben hast, also
|a› = (a.x ¦ a.z)
|b› = (b.z ¦ b.z),
so ist doch
||a›| = √{a.x² + a.z²}
||b›| = √{b.x² + b.z²},
nach dem Satz des Pythagoras. Allerdings ist der jeweilige Ausdruck unter der Wurzel nichts anderes als das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:
‹a|a› = a.x² + a.z²
‹b|b› = b.x² + b.z²
Anschließend habe ich das Produkt der beiden Beträge nochmal mit Cosinus (φ) multipliziert.
Dazu musst Du den cos(φ) aber erst mal kennen. Hier gilt genau dasselbe wie bei den Beträgen: In einer Zeichnung kannst Du φ einfach messen. Sind die Vektoren hingegen in Komponenten gegeben, so ist der Winkel bzw. dessen Cosinus erst durch das Skalarprodukt definiert:
cos(φ) = ‹a|b›/||a›|·||b›| = (a.x·b.x + a.z·b.z)/(√{a.x² + a.z²}·√{b.x² + b.z²}).
Wenn ‹a|b›=0 ist, so ist auch cos(φ)=0, und φ=90° bzw. π/2.
Du kannst einen Vektor auch in einem anderen Koordinatensystem S° ausdrücken, das relativ zu S um einen Winkel gedreht ist.
Dadurch verändern sich die Komponenten beider Vektoren, aber das Skalarprodukt bleibt gleich.
Hallo,
das Skalarprodukt zweier Vektoren ist das Produkt aus den Beträgen dieser Vektoren und dem Kosinus des kleineren Winkels zwischen beiden.
Also: a·b=|a|*|b|*cos (Phi)
Das kann man nach cos (Phi) umformen:
cos (Phi)=(a·b)/(|a|*|b|)
Du kannst also aus den Beträgen zweier Vektoren und ihrem Skalarprodukt den Winkel zwischen beiden bestimmen.
Stehen beide Vektoren senkrecht aufeinander, ist ihr Skalarprodukt gleich Null.
Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren identisch mit dem Produkt ihrer Beträge, so sind sie parallel zueinander und zeigen in die gleiche Richtung.
Sind sie parallel, zeigen aber in unterschiedliche Richtungen, ist das Skalarprodukt das negative Gegenstück zum Produkt ihrer Beträge.
Das Skalarprodukt ergibt immer eine Zahl (Skalar), während das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren wieder einen Vektor ergibt. Bitte nicht verwechseln.
Herzliche Grüße,
Willy
Also ist das ganze ding NUR um den Winkel zu berechnen ?
Vielen dank, ich verstehe aber leider immer noch nicht wofür ich das brauche ? Einfach nur um zu wissen ob die Vektoren Parallel zueinander sind oder eben nicht ? Und was habe ich davon den das Skalarprodukt 0 ist ? Also was genau sagt mir das denn aus und inwiefern ist es nützlich in meiner rechnung
Ich sagte doch bereits: Winkelbestimmung.
Das kann in der Physik sehr nützlich sein, wenn unterschiedliche Kräfte aus unterschiedlichen Richtungen auf einen Gegenstand wirken und Du die Resultierende berechnen möchtest.
In der Geometrie kann es Dir helfen, fehlende Stücke einer Figur zu berechnen usw.
Guck mal unter Eigenschaften
Also ist das Skalarprodukt nichts anderes als Das Pythagoras im Dreieck? Des ist eben die Seiten und winkel ausrechnen kann ?