Multiplikatives Inverse für Modulo?
Hallo
Kann mir jemand (nicht mathematisch) erklären warum man das multiplikativ Inverse für Modulo braucht.
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Was ist die Bedeutung wenn es eins gibt und wenn nicht?
Soll es bedeuten, dass wenn es kein betreffend multiplikatives Inverse gibt, dann gibt es auch kein 2*x=3 in der Betreffende Z/n?
3 Antworten
Angenommen du betrachtest die Gleichung über die Reellen Zahlen:
Um 2x=3 zu lösen musst du einfach beide Seiten mit 1/2 multiplizieren, also dem Multiplikatives inverse von 2.
Du bekommst dann x=1.5
Falls du aber die Gleichung über die ganzen Zahlen Lösen willst, ist es eben nicht möglich, da in den Ganzen Zahlen keine multiplikativen inverse gibt. "1/2*a" ist somit nicht immer definiert.
Denn nicht alle Zahlenstrukturen besitzen multiplikatkve inverse für alle Elemente. Z/4 ist da ein Beispiel, denn 2 hat kein inverses, da es nämlich ein Nullteiler ist (da 2*2=0).
Und falls es eben kein Inverses gibt, kann es sein dass die gegebene lineare gleichung keine Lösung hat (oder sogar mehrere Lösungen hat, bei Z/6 hat die Gleichung 2x=4 zum Beispiel die Lösungen 2 und 5)
Wie auch bei dem normalen Lösen von Gleichungen willst du für die Gleichung
2x = 3
beide Seiten der Gleichungen mit dem Inversen von 2 multiplizieren, damit dort ein Ausdruck der Form
x = ...
steht.
Über den reellen Zahlen ist das Inverse von 2 0.5, denn 2 • 0.5 = 1. Multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit 0.5, so ergibt sich
0.5 • 2 • x = 1 • x = x = 1.5 = 0.5 • 3.
In Z/5 wäre das inverse Element von 2 nun 3, denn es gilt
2 • 3 = 6 = 1.
Problem ist:
Die Gleichung 2x = 3 verhält sich in Z/4 wie sich z.B. 0x = 5 in R verhalten würde. 0 hat in R kein inverses Element der Multiplikation, mit dem man beide Seiten der gleichung multiplizieren könnte. Deshalb ist die Gleichung nicht lösbar.
Ich hoffe, ich konnte helfen <3
Wenn du 2x=y berechnen willst, dann musst du zum Umstellen von links mit 2^-1 multiplizieren. Wenn aber kein 2^-1 vorhanden ist, geht das nicht.
Ist das Algebra I oder welches Fach genau?
Diskrete Mathematik ich habe es mit dem erweiterter euklidischer Algorithmus und Bezout gelöst