Warum Multiplikative Gruppe?
Hi. Ich habe verstanden wie man die Tafel ausfüllt. Habe dennoch Probleme bei der Erklärung einer Multiplikativen Gruppe, obwohl ich in Wikipedia gelesen habe. Meine Fragen wären dann erstmal zur 0 in den Klammern. Heisst das ich soll von 0 bis mod 5 rechnen. Also wenn da eine 1 gestanden hätte müsste ich mit einer 1 beginnen? Die zweite Frage ist warum multiplikativ? 3. Inverse Elemente? Von Plus z.b wäre das ja 7+(-7)=0 . Verwirrend..
Danke
1 Antwort
Der Schrägstrich in Z\{0} bedeutet "ohne". Insofern finde ich die Verknüpfungstafel etwas irreführend, die erste Spalte und Zeile sollte jeweils weg, sodass nur die Elemente 1, 2, 3 und 4 auftauchen.
Multiplikativ heißt, beim Verknüpfen zweier Elemente werden sie multipliziert. Nachdem wir aber in Z5 sind und nicht in Z wird das Ergebnis modulo 5 reduziert, also der Rest der Division durch 5 aus ihm gebildet. Beispiel:
4*3 = 12 == 2 mod 5
denn 12 gibt beim Teilen durch 5 Rest 2. (Das "Doppel-Istgleich" sollte eigentlich eins mit drei Strichen sein.)
Die inversen Elemente lassen sich aus der Tabelle ablesen. Zum Beispiel in der Zeile zum Element 2 steht der Einser an der vorletzten Stelle, das inverse Element zur 2 ist also die 3. Denn
2*3 = 6 == 1 mod 5
Die 2 multipliziert mit ihrem inversen Element 3 ergibt das neutrale Element der Multiplikation, die 1, also passt es, die 3 war das inverse Element der 2.
In der Aufgabe steht ja begründen sie warum multiplikativ, als Antwort steht da z5/(0) ist eine multiplikative Gruppe, da 5 prim und ggT(größter gemeinsamer Teiler) (x,5)=1 für 1,2,3,4.
Was wäre denn keine multiplikative Gruppe? Oder ist das wieder eine Verwirrung? Wie begründe ich die multiplikative Gruppe?
Danke für das Lob! :) Du, aller Anfang ist schwer, du bist ja offenbar noch am Beginn deines Studiums, da muss man erst mal reinfinden!
Irgendwo in deinem Skript solltest du genau diese Aussage finden: Auf Z_n\{0} lässt sich genau dann eine multiplikative Gruppe finden, wenn n prim ist.
Nehmen wir als Gegenbeispiel n=6, also Z_6\{0}. In so einer Menge kann man zu den Elementen 2 oder 3 (den Teilern von 6) keine multiplikativ Inverse finden. Und wenn ich nicht zu jedem Element ein Inverses finde, hab ich keine Gruppe sondern nur ein Monoid.
Genau das war mein Gedanke. Wollte es sogar schreiben. Habe aber dann zurückgezogen. Danke dir. Wie gesagt ich bedanke mich herzlichst und wünsche dir das beste!
Wieder einmal eine professionelle und verständliche Antwort. Manchmal denke ich mir warum bin ich so dumm. Echt Respekt für dein Wissen. Habe selten Menschen mit so einer Kenntnis gesehen.