Motorradtechnik; Beschleunigung ausrechnen und vergleichen?
Hallo,
folgender Fall.
Bitte beachten; hierbei gehts mir um den Rechenweg also ob es eine Möglichkeit gib das auszurechnen wer das Rennen gewinnt ist von vornhinein klar.
Ampel auf Rot.
Fahrzeug eins:
Motorrad 125 ccm max. Geschwindigkeit 130 km/h für die Beschleunigung von 0 - 100 km benötigt dieser 17 Sekunden.
Fahrzeug zwei:
Motorrad mit 599 ccm. max. Geschwindigkeit 241 km/h für die Beschleunigung von 0 - 100 km benötigt dieser 3,6 S.
Ampel schaltet auf grün und los gehts.
Das Rennen geht mmmh sagen wir mal 3 - 5 km.
So es ist klar dass Fahrzeug zwei gewinnt.
Ich würde nur gerne wissen ob anhand dieser Daten die Möglickeit besteht rechnerisch herauszufinden wieviel Meter Fahrzeug zwei hinter sich gebracht hat wenn Fahrzeug eins auf 100 km beschleunigt hat.
Da das beschleunigen ja keine Konstante Größe darstellt, verstehe ich gerade nicht iwe diese Mathematisch behandelt wird.
Über eine Erklärung für Laien würde ich mich freuen.
2 Antworten
Solche Vorgänge, die stark bei 0 anfangen und sich dann asymptotisch einem Endwert nähern, gibt es viele, z.B. bei Kondensatoren, Spulen, Lösungen, Temperaturangleichungen etc.pp. Das ergibt dann eine Sättigungskurve, die mit einer e-Funktion beschrieben werden kann.
Deren allegemeine Form lautet:
f(t) = fmax * (1 - e^(-t/a))
fmax ist der maximalwert, dem sich die Funktion nähert. Bei uns wäre das jeweils vmax.
e = 2,72
a ist die Zeitkonstante, die die "Steilheit" der Kurve angibt.
Für unsere Motorräder lautet die Funktion also in guter Näherung:
v(t) = vmax(1 - e^(-t/a))
Um die Zeitkonstante a rauszukriegen, gibt es nun zwei Möglichkeiten:
1) man löst die Funktionsgleichung nach a auf und setzt den Punkt für 100 km/h ein.
2) das habe ich gemacht: man gibt die Funktion in einen Graphenzeichner ein und spielt mit a solange rum, bis der Punkt t, bei dem 100 km/h erreicht werden, mit der Angabe übereinstimmt.
v = 100 km/h = 27,7 m/s
v1max = 130 km/h = 36 m/s
v2max = 241 km/h = 67 m/s
Das ergibt für Moped 1 folgende Kurve:
und für Moped 2 diese:
Nun wissen wir also:
a1 = 12
a2 = 6,5
Der Weg s(t) ist das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit:
s(t) = ∫v(t) dt
Mit s(0) = 0 ergibt sich damit:
s(t) = vmax * t - vmax * a * (1 - a(1 - e^(-t/a))
Nun rechnen wir die Strecken für t = 17 s aus:
s1(17) = 36 * 17 - 36 * 12 * (1 - e^-17/12) = 612 - 36 *12 * 0,76 = 284 m
s2 (17) = 67 * 17 - 67 * 6,6 * (1 - e^-17/6,5) = 1139 - 36 *6,5 * 0,93 = 921 m
Ups....hier in der Formel unten:
s(t) = vmax * t - vmax * a * (1 - a(1 - e^(-t/a))
ist ein Fehler drin. Das a hatte ich ausgeklammert und muss deshalb vor der Klammer mit dem (1 - e) weg.
Beim Ausrechnend er Zahlenwert stimmts dann wieder.
Ok, ich werde es mir erst heute Abend frühestens antun können.
Falls ich es schaffe bekommst du eine Rückmeldung.
:-)
Danke für die ausführliche Antwort.
Ok, ich kann das zwar nicht nachvollziehen... Aber bedeutet die Antwort;
Wenn M1 nach 284 m auf 100 km/h beschleunigt hat M2 bereits 921m hintersich gelegt?
Und wenn das richtig ist... Kann ich irgendwie noch darauf kommen wie viel Km/h M2 erreicht nach 921m (angenommen dass M2 konstant beschleunigt)?
Wenn M1 nach 284 m auf 100 km/h beschleunigt hat M2 bereits 921m hintersich gelegt?
Ja, das bedeutet es.
Kann ich irgendwie noch darauf kommen wie viel Km/h M2 erreicht nach 921m
Auch das ist möglich:
v(t) = vmax(1 - e^(-t/a))
v(17) = 67 m/s * ( 1 - e^(-17/6,5) = 67 m/s (1 - 0,073) = 67 m/s * 62 m/s
= 223 km/h
den Ausdruck "= 67 m/s * 62 m/s" hat mir der Editor reingeknallt, der hat da nichts zu suchen.
Da das beschleunigen ja keine Konstante Größe darstellt
Dann müsstest du die reale Beschleunigung doppelt integrieren, um auf die zurückgelegte Strecke schließen zu können. Dafür bräuchtest du aber Messwerte. Idealisiert könntest du die Beschleunigung in Abschnitte teilen (0-100, 100-150, 150-200 zum Beispiel). Dazwischen kann man sie sehr wohl konstant annehmen.
In deinem Beispiel fehlt allerdings die Angabe, wie schnell das Rennen gefahren wird, denn für die Beschleunigung 100-200 fehlt die Zeitangabe.
Ansonsten kannst du praktisch alles über die Zusammenhänge
s = 1/2 a t²
und
a = v / t
herleiten.
Also ok es wird also für unterschiedliche "Beschleunigungsabschnitte" unterschiedliche Werte genommen. Das hilft ja schonmal weiter.
Bist du noch so nett und würdest ausschrieben was die Buchstaben für eine bedeutung haben?
T= Zeit
S = Speed?
a = ?
v = ?
Also
Fahrzeug 1 beschleunigt in 17 Sekunden auf 100 km/h.
Wir nehmen mal an dass die Beschleunigung konstant abläuft obwohl das sicherlich nicht der Fall ist.
Ich möchte wissen wie viel Strecke er hinter sich gebracht hat wenn er 100 km/h erreicht hat.
Wie wird das nun ausgerechnet.
Bitte sowohl die Formel und die Zahlen entsprechend darstellen.
Und verstehen wir unter Beschleunigung (also den Wert für A) die Summe der einzelnen "Km/h's" zwischen 0 - 17 Sekunden?
Wenn das Fahrzeug in 17 Sekunden auf 100 beschleunigt, ist das wie folgt:
Beschleunigung a = v / t, also 27,78m/s / 17s = 1.63 m/s²
Die dafür zurückgelegte Strecke ergibt sich aus:
s = 1/2 x a x t²
= 1/2 x 1.63m/s² x 17² ~ 384 m
wieso kmmt ihr beiden auf ein anders Ergebnis?
Weil "Hamburger02" nicht vereinfacht mit einer linearen Beschleunigung rechnet, sondern mit einer asymptotischen Annäherung. Das sind zwei verschiedene Sachen.
Jau danke