Möglichst großes Dreieck in einer Funktion?
Der Graph der Funktion f mit f(x)=-7x^2+5 besitzt einen Punkt C (a|f(a)).
Berechnen Sie den Wert für 0<a<0,84 so, dass das Dreieck mit den Punkten A (0|0), B (a|0) und C (a|f(a)) einen möglichst großen Flächeninhalt hat.
Kann mir jemand sagen wie das geht? Ich weiß irgendwie gar nicht mit was für einer Rechnung ich das machen soll.
3 Antworten
Das Ganze sieht so aus (als Beispiel für a=0,5):
Das Dreieck ist rechtwinklig, die beiden Katheten sind
AB=a und BC=f(a)=-7a²+5
Die Fläche des Dreiecks ist dann
A=0,5⋅AB⋅BC =0,5a(-7a²+5)=-3,5a³+2,5a
Jetzt suchst du das Maximum dieser Funktion, indem du sie ableitest und die Ableitung nullsetzt:
A'(a)=-10,5a²+2,5=0 --> a=wurzel(2,5/10,5)≈0,488 (da nur Werte a>0 verlangt sind)
Du setzt mit der größte des Dreiecks abhängig von a an. Diese lautet
0,5 * Breite * Höhe.
In dem Fall ist deine Breite a und deine Höhe f(a), also
0,5*a*f(a)
f(a) setzt du jetzt ein und erzählst f(a) = 7a²+5, also
0,5*a*(-7a²+5) = -3,5*a³+2,5a
Diese Formel beschreibt den Flächeninhalt vom Dreieck abhängig von a. Das heißt, du suchst jetzt die Extrema dieser kubischen Funktion, dh, erstmal ableiten.
-3,5*a³+2,5a => -10,5a²+2,5
Jetzt suchst du die Nullstellen dieser Parabel, um somit die Extrema zu finden.
-10,5a²+2,5 = 0
-10,5a² = -2,5
a² = -2,5/-10,5
a = 0.48795003647
Drücke die Fläche eines Dreiecks durch a aus und bestimme dann das Maximum im Bereich 0 bis 0,84.