Mir ist (durch einsetzten in den Taschenrechner) klar, dass der Grenzwert 1 ist, aber wie kann ich dass nun zeigen?
Danke für die Hilfe:)
3 Antworten
O.B.d.A sei a = max(a,b,c)
Da a,b,c > 0 und die Wurzel streng monton steigend ist, gilt:
andererseits gilt aber auch (gleiche Begründung wie eben):
wir halten fest:
die n-te Wurzel einer beliebigen positiven Zahl konvergiert immer gegen 1.
Was folgt jetzt nach dem Einschnürungssatz (oder Sandwich-Kriterium :D)?
Ohhhh, okay, das heißt, wenn n unendlich groß wird, dann konvergiert mein Beispiel immer gegen a?
Mhm... Dass der Grenzwert 1 sein soll, klingt erst einmal falsch. Stell dir vor, a,b und c nehmen alle den Wert 2 an. Dann steht da
(3 * 2^n)^(1/n) = 2 * 3^(1/n). Und diese Folge konvergiert gegen 2.
Nein, für jedes Tripel (a,b,c) besitzt die Folge tatsächlich einen Grenzwert. Aber der ist eben nicht 1, sondern abhängig von diesem Tripel.
Ok und wie sollte ich das dann am besten zeigen?
Als erstes solltest du überlegen, wie der Grenzwert überhaupt aussieht. Dafür kannst du z.B. einfach mal unterschiedliche Zahlen für a, b und c einsetzen. Wenn du das getan hast, siehst du vllt, was der Grenzwert sein muss und wie du das beweisen kannst.
ich habe vorgeschlagen , mehrere Fallunterscheidungen zu treffen. Aber ich habe nicht den Überblick , welche und wieviele reichen.
Tatsächlich habe ich einen Beweis im Kopf, der ohne Fallunterscheidung auskommt. Wichtig ist wie gesagt nur, dass man weiß, was man eigentlich beweisen will (i.e. was der Grenzwert ist).
wolfram liefert das
aber da fehlt mir deine beispielhafte 2, bzw nach KunXz Antwort , dürfte die 2 gar nicht sein .......... so verstehe ich seine Antwort.
Zunächst: Bei deinem Link sieht das so aus, als hättest du die Fulgenglieder summiert. Aber in der Aufgabe steht gar nichts von einer Reihe über die Folge.
Zu KunXz' Antwort: Ich hatte exakt dieselbe Beweisidee. Und sie widerspricht nicht meiner 2, sondern unterstützt die Rechnung (es ist im Wesentlichen sogar dieselbe Rechnung). Ich kann hier nicht mehr verraten, ohne noch mehr zu spoilern, als KunXz und ich das zusammen ohnehin schon getan haben, schreibe dir aber gerne per PN mehr ;)
Hi Halbrecht, das ist so nicht richtig. Was ich gezeigt habe war, dass der Grenzwert immer die größte der drei Zahlen a,b,c ist. D.h. im Beispiel von Magicalgrill wäre die größte Zahl natürlich 2 (da alle 2 sind) und demnach konvergiert diese Folge gegen 2. Was ja eine richtige Aussage ist.
Ah, sorry dafür, vielleicht hätte ich etwas präziser sein sollen: "einer beliebigen aber festen positiven Zahl" oder diesen Satz als zusätzliche Bemerkung kennzeichen sollen.
Beachte den Text :
"nachstehende FOLGEN"
du musst also Fallunterscheidungen treffen
................ da habe ich nicht den genauen Plan , aber von einer hat MagicalGrill schon berichtet :
a = b = c ..................
mir fiele jetzt noch ein a = b und c nicht
was wenn a und b gegen Null gehen ?......... oder nur a ?
Schon blöde ,dass a ,b und c aus R sind ..............
Also kann man sagen, dass die Folge keinen Grenzwert besitzt?