Mechanik: Bewegungsgleichung einer Kugel im Glycerinbad?
Hallo!
Ich habe es mit eine schwierige Aufgabe zu tun und würde gerne eure Meinung wissen.
Es geht um eine Kugel in Glycerinbad. Sie soll dort schwingen (Aufgabe im Anhang).
Man soll unter anderem die Bewegungsgleichung dafür aufstellen.
Ich habe eine Gleichung aufgestellt, nur hat sie den Form einer gedämpften Schwingung und nicht, wie es in der Aufgabe steht, den Form einer erzwungenen Schwingung!
Kann mir einer bitte sagen, was ich da vernachlässigt habe?
Die Reibungskraft ist die Dämpfung oder? Wenn ja, was ist dann die äußere Kraft, die hier wirkt?
Und welche Rolle spielt die Angabe zu xa(t)? Wo werde ich die Dichte des Glycerins brauchen?
Ich weiß, ich muss selbst die Antwort herausfinden, aber leider habe ich mit diesem Thema echt zu kämpfen.
LG
2 Antworten
Inhomogene lineare Dgl 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten
a*y´´+b*y´+c*y=S(x)
S(x)=Ao*sin(w*t) hier S(x)=Fe*sin(w*t) Fe=Ao*k
Gleichgewichtsbedingung:Die Summe aller Kräfte in einer Richtung ist zu jeden zeitpunkt gleich Null.
F+Fd+Ff=Fe... mit F=m*a und Fd=r*V und Ff=k*S
Fd=r*v ist das "lineara Kraftgesetzt" , sonst ist die Aufgabe gar nicht lösbar.
m*a+r*v+k*S=Fe*sin(w*t) dividiert durch m
a+r/m*v+K/m*s=Fe/m*sin(w*t)
man setzt 2*b=r/m
und wo^2=K/m wo ist dei "Kreisfrequenz" des ungedämpften Sysetms
b ist die "Abklingkonstante" bei der "freien gedämpften Schwingung"
erginnt x´´+2*b*x´+wo^2*x=Fe*sin(w*t)
Im "staionären Zustand" ergibt sich für das System die "Weg-Zeit-Funktion"
S(t)=Ss*sin(w*t-c)
Die Kugel hat die selbe Winkelgeschwindigkeit,wie die Störfunktion"
C ist die Phasenverschiebung der Kugel gegenüber der Störfunktion.
(c)=arctan(2*b*w/(wo^2-w^2)) in rad (Radiant)
Systemamplitude S(t)=(Fe/m)/(Wurzel(wo^2-w^2)^2+4*b^2*w^2))
Resonazmaximum "Resonazamplitude"
wr=Wurzel(wo^2-2*b^2) Wr Winkelgeschwindigkeit im Resonanzfall
Sr=Fe*wo/(m*wo^2*2*b*Wurzel(1-(b/wo)^2))
wegen linearen Kraftgesetz
Ao=Fe/k und k=m*wo^2
ergibt Sr=Ao*wo/(2*b*Wurzel(1-b/wo)^2))
Verhältnis "Resonanzamplitude" zur "Anfangsamplitude"
bei gringer Dämpfung b^2<<wo^2 ergibt (b^2/wo^2) sehr viel kleiner 1
Sr/Ao ungfähr wo/(2*b) ungfähr Q (Gütefaktor)
"aperiodischer Grenzfall" freie gedämpfte Schwingung bei
wo^2=b^2 oder b^2=4*D*m
ist die Grenze zwischen den "Schwingungsfall" und den "Kriechfall) ,wenn die Dämpfung hoch ist.
Hinweis: Die Gleichungen habe ich aus meinen Unterlagen abgeschrieben.
Die Herleitungen und Umformungen habe ich nicht.
Das Kräftegleichgewicht ist
F+Fd+Ff=Fe
F=Trägheitskraft
Fd=Dämpfungskraft
Ff=Federkraft
Fe=Störkraft
S(t)=Ao*sin(w*t) ist keine Kraft,wenn Ao eine Strecke ist
Ich denke , daß Fe=Ao*k ist,somit haben wir eine Kraft.
Die Lösung der Dgl. a*y´´+b*y´+c*y=S(x) steht im Mathe-Formelbuch.
Solch eine Aufgabe habe ich noch nie gelöst.
Ich habe Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert und habe solch eine Aufgabe noch nie gerechnet.
Eine inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung habe ich auch noch nie gerechnet.
Beides habe ich noch nie gerechnet.
Natürlich muß man damit rechnen,das sowas in der Klausur vorkommt,aber dafür gibt es auch dann richtig viel Punkte.
Um die Klausur zu bestehen,brauchst du nur relativ einfache Aufgaben rechnen zu können.
Herleitungen,die über eine ganze DIN A 4 Seite gehen,kommen bestimmt nicht vor.
Allerdings solltest du die Endformeln für solche Aufgaben anwenden können.
In der Klausur ist eh alles zugelassen,weil die Formeln ja viel zu umfangreich sind.
Auswendig lernnen wäre ja der helle Wahnsinn.
Hinweis: Das System braucht ein "Einschwingzeit".Das ist mathematisch überhaupt nicht berechenbar,glaub ich.
Im stationären Betrieb vollführt die Masse m eine Schwingung und das kann nur diese Funktion sein
S(t)=a*sin(w*t+c) oder S(t)=a*cos(w*t+c)
Andere Funktionen sind ja nicht bekannt und die könnte man ja auch mathematisch wohl nicht lösen.
Also ,setze S(t)=x(t)=a*sin(w*t+c) in die Dgl ein und prüfe,was dabei herauskommt.
Das Selbe machst du dann mit S(t)=a*cos(w*t+C)
also S(t)=... und S´(t)=.... und S´´(t)=.... in die Dgl einsetzen.
Hinweis: S(t)=e^(-b*t)*A*sin(w*t+c) mit b^2<wo^2 (Schwingungsfall)
setzt man S(t)=.. und S´(t)=... und S´´(t)=... in die Dgl für die "freie gedämpfte Schwingung" ein
S´´+2*b*S´+wo^2*S=0
so ist die Dgl erfüllt ,wenn w=Wurzel(wo^2-b^2) herauskommt
Die Formel w=Wurzel(wo^2-b^2) leitet sich dadurch her.
b ist die Dämpfungskonstante
"Auf das obere Ende der Feder wirkt eine äußere Kraft". Den Teil hast du überlesen. Müsstest eine inhomogene Gleichung bekommen.
mx``+6pi*v*eta*x´+kx=A0sin(omega*t)
Genau. Kann ich die Auftriebskraft für die Berechnung der maximalen Amplitude verwenden?
Ich würde die Ansatzfunktion A(omega)*sin(omega*t+phi) differenzieren und die unbekannten Faktoren aus DGL und Anfangswerten berechnen. Dann muss die Auftriebskraft natürlich irgendwo in der DGL auftauchen. Allein aus der Auftriebskraft kann man die Amplitude aber nicht berechnen, das ist ja eine konstant wirkende Kraft. Man kann die Amplitude ja auch nicht nur mit der Schwerkraft berechnen.
Ich hatte gerade nen Denkfehler, du hast recht!
Bei b) muss ich ωmax und die maximale Amplitude ausrechnen. Für die Amplitude brauche ich ja die einwirkende Kraft. Ist es richtig, dafür die Auftriebskraft zu nehmen?
Hab ich auch daran gedacht, nur steht in der Aufgabenstellung, dass ich nur die Reibung berücksichtigen soll. Das heißt dann, dass die Auftriebskraft vernachlässigt werden soll oder?
Achtung: Bei der Berechnung der Dämpfung sollst du nur die Reibung berücksichtigen. Da die Auftriebskraft von der Geschwindigkeit der Kugel unabhängig ist, hat diese nichts mit der Dämpfung zu tun und ist deshalb zu berücksichtigen.
Danke!
Kannst du mir etwas mehr davon erzählen, wie ich die Dichte zur Berechnung der Reibung verwenden kann? Stehe noch auf dem Schlauch!
Und ist mit dx/dt bei der Reibungskraft x(t) gemeint?
dx/dt ist ja einfach die Geschwindigkeit. Heisst, dass Reibung in Fluiden von der Geschwindigkeit abhängig ist.
Du musst wahrscheinlich noch die Auftriebskraft berücksichtigen, die deine Kugel erfährt, dafür brauchst du dann die Dichte von Glycerin. Hab ich vorhin garnicht gesehen.
Sorry, die dynamische Viskosität brauchst du für die Reibung
Wow, danke für deine sehr ausführliche Antwort!
Nur aus reinem Interesse: Mit so eine Aufgabe habe ich noch nie gelöst, meinst du die DGL oder meine Aufgabe? 😂
Oder anders gefragt: Hälst du solch eine Aufgabe für wahrscheinlich in der Klausur? :-)