Mechanik: Bewegungsgleichung einer Kugel im Glycerinbad?

Ansatz - (Schule, Mathematik, Physik) Frage - (Schule, Mathematik, Physik)

2 Antworten

Vom Beitragsersteller als hilfreich ausgezeichnet

Inhomogene lineare Dgl 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten

a*y´´+b*y´+c*y=S(x)

S(x)=Ao*sin(w*t) hier S(x)=Fe*sin(w*t) Fe=Ao*k

Gleichgewichtsbedingung:Die Summe aller Kräfte in einer Richtung ist zu jeden zeitpunkt gleich Null.

F+Fd+Ff=Fe... mit F=m*a und Fd=r*V und Ff=k*S

Fd=r*v ist das "lineara Kraftgesetzt" , sonst ist die Aufgabe gar nicht lösbar.

m*a+r*v+k*S=Fe*sin(w*t) dividiert durch m

a+r/m*v+K/m*s=Fe/m*sin(w*t)

man setzt 2*b=r/m

und wo^2=K/m wo ist dei "Kreisfrequenz" des ungedämpften Sysetms

b ist die "Abklingkonstante" bei der "freien gedämpften Schwingung"

erginnt x´´+2*b*x´+wo^2*x=Fe*sin(w*t)

Im "staionären Zustand" ergibt sich für das System die "Weg-Zeit-Funktion"

S(t)=Ss*sin(w*t-c)

Die Kugel hat die selbe Winkelgeschwindigkeit,wie die Störfunktion"

C ist die Phasenverschiebung der Kugel gegenüber der Störfunktion.

(c)=arctan(2*b*w/(wo^2-w^2)) in rad (Radiant)

Systemamplitude S(t)=(Fe/m)/(Wurzel(wo^2-w^2)^2+4*b^2*w^2))

Resonazmaximum "Resonazamplitude"

wr=Wurzel(wo^2-2*b^2) Wr Winkelgeschwindigkeit im Resonanzfall

Sr=Fe*wo/(m*wo^2*2*b*Wurzel(1-(b/wo)^2))

wegen linearen Kraftgesetz

Ao=Fe/k und k=m*wo^2

ergibt Sr=Ao*wo/(2*b*Wurzel(1-b/wo)^2))

Verhältnis "Resonanzamplitude" zur "Anfangsamplitude"

bei gringer Dämpfung b^2<<wo^2 ergibt (b^2/wo^2) sehr viel kleiner 1

Sr/Ao ungfähr wo/(2*b) ungfähr Q (Gütefaktor)

"aperiodischer Grenzfall" freie gedämpfte Schwingung bei

wo^2=b^2 oder b^2=4*D*m

ist die Grenze zwischen den "Schwingungsfall" und den "Kriechfall) ,wenn die Dämpfung hoch ist.

Hinweis: Die Gleichungen habe ich aus meinen Unterlagen abgeschrieben.

Die Herleitungen und Umformungen habe ich nicht.

Das Kräftegleichgewicht ist

F+Fd+Ff=Fe

F=Trägheitskraft

Fd=Dämpfungskraft

Ff=Federkraft

Fe=Störkraft

S(t)=Ao*sin(w*t) ist keine Kraft,wenn Ao eine Strecke ist

Ich denke , daß Fe=Ao*k ist,somit haben wir eine Kraft.

Die Lösung der Dgl. a*y´´+b*y´+c*y=S(x) steht im Mathe-Formelbuch.

Solch eine Aufgabe habe ich noch nie gelöst.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Rutherford12 
Beitragsersteller
 01.07.2018, 21:17

Wow, danke für deine sehr ausführliche Antwort!
Nur aus reinem Interesse: Mit so eine Aufgabe habe ich noch nie gelöst, meinst du die DGL oder meine Aufgabe? 😂
Oder anders gefragt: Hälst du solch eine Aufgabe für wahrscheinlich in der Klausur? :-)

fjf100  02.07.2018, 02:13
@Rutherford12

Ich habe Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert und habe solch eine Aufgabe noch nie gerechnet.

Eine inhomogene lineare Dgl 2. Ordnung habe ich auch noch nie gerechnet.

Beides habe ich noch nie gerechnet.

Natürlich muß man damit rechnen,das sowas in der Klausur vorkommt,aber dafür gibt es auch dann richtig viel Punkte.

Um die Klausur zu bestehen,brauchst du nur relativ einfache Aufgaben rechnen zu können.

Herleitungen,die über eine ganze DIN A 4 Seite gehen,kommen bestimmt nicht vor.

Allerdings solltest du die Endformeln für solche Aufgaben anwenden können.

In der Klausur ist eh alles zugelassen,weil die Formeln ja viel zu umfangreich sind.

Auswendig lernnen wäre ja der helle Wahnsinn.

Hinweis: Das System braucht ein "Einschwingzeit".Das ist mathematisch überhaupt nicht berechenbar,glaub ich.

Im stationären Betrieb vollführt die Masse m eine Schwingung und das kann nur diese Funktion sein

S(t)=a*sin(w*t+c) oder S(t)=a*cos(w*t+c)

Andere Funktionen sind ja nicht bekannt und die könnte man ja auch mathematisch wohl nicht lösen.

Also ,setze S(t)=x(t)=a*sin(w*t+c) in die Dgl ein und prüfe,was dabei herauskommt.

Das Selbe machst du dann mit S(t)=a*cos(w*t+C)

also S(t)=... und S´(t)=.... und S´´(t)=.... in die Dgl einsetzen.

Hinweis: S(t)=e^(-b*t)*A*sin(w*t+c) mit b^2<wo^2 (Schwingungsfall)

setzt man S(t)=.. und S´(t)=... und S´´(t)=... in die Dgl für die "freie gedämpfte Schwingung" ein

S´´+2*b*S´+wo^2*S=0

so ist die Dgl erfüllt ,wenn w=Wurzel(wo^2-b^2) herauskommt

Die Formel w=Wurzel(wo^2-b^2) leitet sich dadurch her.

b ist die Dämpfungskonstante

"Auf das obere Ende der Feder wirkt eine äußere Kraft". Den Teil hast du überlesen. Müsstest eine inhomogene Gleichung bekommen.

mx``+6pi*v*eta*x´+kx=A0sin(omega*t)


Rutherford12 
Beitragsersteller
 01.07.2018, 19:28

Genau. Kann ich die Auftriebskraft für die Berechnung der maximalen Amplitude verwenden?

Manmannboiboi  01.07.2018, 19:45
@Rutherford12

Ich würde die Ansatzfunktion A(omega)*sin(omega*t+phi) differenzieren und die unbekannten Faktoren aus DGL und Anfangswerten berechnen. Dann muss die Auftriebskraft natürlich irgendwo in der DGL auftauchen. Allein aus der Auftriebskraft kann man die Amplitude aber nicht berechnen, das ist ja eine konstant wirkende Kraft. Man kann die Amplitude ja auch nicht nur mit der Schwerkraft berechnen.

Rutherford12 
Beitragsersteller
 01.07.2018, 19:12

Ich hatte gerade nen Denkfehler, du hast recht!
Bei b) muss ich ωmax und die maximale Amplitude ausrechnen. Für die Amplitude brauche ich ja die einwirkende Kraft. Ist es richtig, dafür die Auftriebskraft zu nehmen?

Rutherford12 
Beitragsersteller
 01.07.2018, 19:07

Hab ich auch daran gedacht, nur steht in der Aufgabenstellung, dass ich nur die Reibung berücksichtigen soll. Das heißt dann, dass die Auftriebskraft vernachlässigt werden soll oder?

Manmannboiboi  01.07.2018, 19:15
@Rutherford12

Achtung: Bei der Berechnung der Dämpfung sollst du nur die Reibung berücksichtigen. Da die Auftriebskraft von der Geschwindigkeit der Kugel unabhängig ist, hat diese nichts mit der Dämpfung zu tun und ist deshalb zu berücksichtigen.

Rutherford12 
Beitragsersteller
 01.07.2018, 16:58

Danke!
Kannst du mir etwas mehr davon erzählen, wie ich die Dichte zur Berechnung der Reibung verwenden kann? Stehe noch auf dem Schlauch!
Und ist mit dx/dt bei der Reibungskraft x(t) gemeint?

Manmannboiboi  01.07.2018, 17:53
@Rutherford12

dx/dt ist ja einfach die Geschwindigkeit. Heisst, dass Reibung in Fluiden von der Geschwindigkeit abhängig ist.

Du musst wahrscheinlich noch die Auftriebskraft berücksichtigen, die deine Kugel erfährt, dafür brauchst du dann die Dichte von Glycerin. Hab ich vorhin garnicht gesehen.

Manmannboiboi  01.07.2018, 16:53

PS: Die Dichte brauchst du für die laminare Reibung an der Kugel