Maximum ausrechen (Mathe)
Hallo liebe Mathematiker, ich habe im lambacher schweizer 4 mathebuch für Gymnasien auf s 84 aufg. 1 die ich nicht verstehe. Die Aufgabe lautet: Eine Metallplatte der Länge 5m und der breite 25cm soll in der breite so umgebogen werden, das eine Regenrinne mit maximalem Volumen entsteht. Bei mir am GTR kommt immer was anderes raus... ich rechne: 5*(0,25-2X)-X das -X nach der klammer steht für die höhe, wenn ich jetzt ausklammere kommt da raus: (1,25-10X^2) raus wenn ich das im graphenmenü eingebe und mit G-Solv das Maximum ausrechne, zeigt er mir an: X=0 und Y=1,25. Im lösungsbuch steht aber das man die rinne um 6,25cm hochbiegen muss. was mache ich falsch, freue mich auf antworten!!:-)
6 Antworten
Ich kann Deinen Lösungsansatz nicht nachvollziehen.
Maximales Volumen bei vorgegebener Länge bekommst Du, wenn die Grundfläche (also das mit dem einen Knick) am größten ist.
Diese wohl dreieckige (?) Grundfläche berechnest Du aber nicht.
Es müsste ja so was wie A=g*hg genommen werden - wobei dann der Pythagoras gilt für (g/2)² + hg² = 12,5² (halbe Breitseite, die ja geknickt wurde)
das -X ist mir völlig schleierhaft, was soll das sein? ggf. ein *x ??
Wieso ziehts Du von der Breite 2 * die Höhe ab?
Mach Dir ne Skizze und überleg Dir den Ansatz noch mal!
Die Rinne bleibt ja gerade, also musst du im Grunde nur vom Querschnitt ausgehen. Wie soll der denn aussehen? Rund, genau rechtwinklig? Sind die Ende geschlossen?
Bei einer im Seitenquerschnitt wie ein |_| aussehenden Rinne müsste die eingeschlossene Fläche hier maximal werden. Da ist die Länge der Rinne egal, es geht darum, mit 25 cm diese drei Seiten optimal zu gestalten, dass die Querschittsfläche optimal ist...
Eine andere Aufgabe: ein Bauer soll drei Seiten einer Weidefläche einzäunen, die vierte Seite ist ein Fluss (also dort kein Zaun). Die Länge seines Zauns ist 100 Meter... Gleiches Prinzip!
a * b = (maximale) Fläche eines Rechtecks
2a + b = 25 (die beiden Seiten seien a, die Grundfläche b)
nach b auflösen und einsetzen und auf geht´s...
Die Länge der Regenrinne soll nur verwirren!
aha - da könnte das x und die 2 x herkommen, wenn es eine rechteckige Rinne sein soll - dann wird die Aufgabe auch einfacher!
Das Volumen der Regenrinne errechnet sich aus dem Querschnitt der Rinne und ihrer Länge (5 m). Da die Länge der Rinne wegen des Biegens in der Breite keine Relevanz hat, kommt der Maximierung des Volumens die Maximierung der Querschnittsfläche gleich.
Du biegst die 25 cm breite Platte links und rechts gleich hoch ab, sagen wir links und rechts mit der Höhe h. Die Querschnittsfläche ist dann ein Rechteck mit der Höhe h und der Basis 25-2h (weil du von den 25 cm ja 2 mal das h nach oben gebogen hast.
Die Fläche dieses Rechtecks ist 25h - 2h².
F = 25h - 2h² ---> max!
dF/dh = 25 -4h = 0
h = 25/4 = 6,25
Das Lösungsheft hat recht.
Wenn Du eine rechteckige Rinne mit maximalem Volumen bekommen willst, muß der Querschnitt, d.h. die Fläche maximal werden:
Fläche F = b * h
Umfang (oben offen) U = 2 * h + b = 25cm >> b = 25cm - 2 * h
F(h) = h * 25cm - 2 * h²
dF/dh = F' = 0 = 25cm - 4 * h >> h = 25/4cm = 6,25cm
Maximum ist erste Ableitung = 0. also erst die Klammer auflösen, dann erste Ableitung machen und das Ergebnis in die 2. Ableitung einsetzen. Wenn das kleiner 0 dann hast du ein Maximum, sonst ein Minimum.
Es ist ein Rechteck