Matheproblem Parallelogram?
Bei der Aufgabe b) bin ich leider raus. wie soll ich zeigen, dass die Bedingungen AB = DC hinreichend ist dafür? Also ich verstehe überhaupt nicht, wie ich das mathematisch ausdrücken soll. Habe überlegt AB + DC = 2 AB bzw. 2 DC. Macht das denn Sinn, um das nachzuweisen?
LG
2 Antworten
AB + DC = 2 AB
stimmt zwar, hift aber nicht weiter.
Schreibe den Nullvektor als Summe aller Seiten und vereinfache mit AB=DC(=−CD). Was bleibt übrig?
0 = AB + BC + CD + DA --> 2 AB + 2 BC = 0
Wie kommst Du darauf? Mit der Voraussetzung AB+CD=0 hebt sich dieser Teil heraus, und übrig bleibt 0=BC+DA.
Zu zeigen ist BC=AD („gegenüberliegende Seiten werden durch den gleichen Vektor beschrieben“). Dazu muss die Gleichung nur noch ein wenig umgestellt werden.
Aufgabe A) hatte ich, ich meinte Aufgabe B), aber die haben wir heute im Unterricht besprochen. Dennoch vielen lieben Dank!
In a) hast Du gezeigt, dass AB=DC und BC=AD reicht.
In b) sollst Du zeigen, dass die zweite Gleichung aus der ersten folgt. Und genau das macht die obige Umformung.
Die Vektoren AB und DC sollen im zweidimensionalen Raum gleich sein. Dann ist nicht nur der Betrag AB und DC gleich, sondern auch die Richtung.
2 Linien mit der gleichen Richtung sind entweder parallel oder deckungsgleich.
Bei parallelen Linien mit gleichen Beträgen muss auch der Vektor AD und BC gleich sein.
Auch hier gilt wieder, dass bei gleicher Richtung von AD und BC die Linien parallel oder deckungsgleich sind.
Wenn ich jetzt davon ausgehen, dass die Punkte A, B und D im Raum alle unterschiedlich sind, entsteht durch die Gleichheit der Vektoren AB-DC und AD=BC ein Parallelogramm.
Das einzige irritierende an der Aufgabe ist die nicht berücksichtigte Möglichkeit, dass die Vektoren AB und DC deckungsgleich sind. D.h. dass A = D gilt. Oder auch, dass der Betrag des Vektors AB= 0 ist. Dann gilt A = B und dann gibt es auch kein Viereck mehr.
So mal etwas unprofessionell erklärt.
0 = AB + BC + CD + DA --> 2 AB + 2 BC = 0? Dies zeigt, dass es den Ursprung ergibt, wenn man zwei nicht-nebeneinander liegende Seiten als Zweierpotenz addiert? Wobei man 2 BC weglassen könnte, da 2AB genügt, um die Parallelität zweier Seiten wegzulassen, aber da bin ich ja wieder am Anfang... :(?